RELATIVITÉ Relativité générale

Équations de champ

Einstein a cherché à généraliser l'équation de Poisson, ΔU = — 4πGρ_g, qui relie les dérivées secondes du potentiel newtonien U à la densité de masse gravitationnelle ρ_g. La généralisation relativiste de ρ_g est, de façon essentiellement unique, le tenseur d'énergie-impulsion Τ^μν à cause, d'une part, des équivalences masse gravitationnelle = masse inertielle = énergie/c², d'autre part, de l'absence en relativité restreinte d'une description par un scalaire, ou un vecteur, de la distribution d'énergie. Alors, comme le choix du référentiel étendu }x{ est complètement arbitraire, Einstein s'est posé le problème de trouver un tenseur S^μν, formé à partir de g_μν et de ses dérivées, qui puisse être égalé à Τ^μν, ce qui implique, pour être cohérent avec (5), que S^μν satisfasse identiquement ∇_νS^μν ≡ 0. Dans un espace-temps à quatre dimensions, ce problème a une solution unique, à un facteur près, S^μν = κ^—2G^μν[g], si l'on impose : (a) que S^μν dépend au plus de g_μν et de ses dérivées premières et secondes ; (b) que la géométrie minkowskienne g_μν = η_μν est une solution en absence de matière (T^μν = 0). Cette solution unique conduit aux équations d'Einstein (où le symbole : = signifie « par définition égal à ») :

(g^μν est le tenseur inverse de g_μν ; Τ_μν = g_μρ g_νσTρσ ; on rappelle que le tenseur de courbure est nul si et seulement si l'espace-temps est plat). La constante κ, dont le carré apparaît dans (7), est une constante de couplage dimensionnée qui permet de relier G_μν et Τ_μν (qui ont des dimensions physiques différentes) et qui doit être déterminée expérimentalement. Si l'on relâche certaines des conditions imposées ci-dessus au tenseur S^μν, on peut écrire des équations de champ plus générales que (7). Par exemple, si l'on impose (a) mais pas (b), la solution générale devient S_μν = κ^—2(G_μν + Λg_μν), qui contient une autre constante arbitraire, la constante cosmologique Λ. Et, si l'on admet la présence de dérivées d'ordre supérieur à 2, il devient possible d'écrire des S_μν contenant beaucoup de constantes arbitraires et faisant intervenir, par exemple, des termes non linéaires en R^αβμν. Il n'existe pas, à l'heure actuelle, d'indications expérimentales suggérant l'emploi de telles généralisations ; cependant, les tentatives de quantification de la gravitation, et de son unification avec les autres forces, prévoient de telles modifications aux très courtes distances.

Il est remarquable que, indépendamment de l'approche « géométrique » que nous venons de rappeler, les équations de champ de la relativité générale puissent être élaborées également à partir des aspects dynamiques du principe d'équivalence, de la manière selon laquelle on formule une théorie de champ dans le cadre de la relativité restreinte. Cette approche « dynamique » fut élaborée, entre autres, par Robert H. Kraichnan, Richard P. Feynman, Steven Weinberg et Stanley Deser. Son point de départ consiste à décrire l' interaction gravitationnelle comme étant transportée par un champ h qui se propage dans l'espace-temps minkowskien. Alors, le fait expérimental de la déflexion de la lumière par le Soleil suffit pour conclure que le champ h, s'il est supposé irréductible, doit être un champ tensoriel de portée infinie (ou champ de spin 2 et de masse nulle). Mais, si, ensuite, par analogie avec les équations de Maxwell :

Limite newtonienne

Comme toutes les généralisations théoriques en physique, qui, tout en transcendant les théories précédentes, s'y ramènent dans les domaines où celles-ci demeurent valables, la relativité générale comprend la théorie de la gravitation de Newton comme un cas limite particulier. Explicitement, on s'attend que la limite newtonienne entre en jeu lorsque le champ gravitationnel est faible et lentement variable, et lorsque la source se meut lentement et ne possède que de faibles tensions internes. On exprime mathématiquement cette situation par les conditions h_μν ⪡ 1, ∂₀h ⪡ ∂_ih, T⁰ⁱ ⪡ T⁰⁰ et T^ij ⪡ T⁰⁰, qui présupposent que l'on emploie un système de coordonnées adapté à cette limite newtonienne (l'existence de telles coordonnées adaptées étant a posteriori justifiée par la construction de solutions approchées).

On démontre d'abord, en utilisant l'équation (5), qui exprime de façon covariante les équations du mouvement local de la matière en présence de gravitation, et en considérant le cas limite d'une distribution d'énergie concentrée en un point, qu'une particule d'épreuve se meut sur une géodésique de l'espace de Riemann, soit :

On doit donc identifier le potentiel newtonien U avec c²h₀₀/2. Notons au passage que l'égalité de m_I et m_g s'est trouvée automatiquement incorporée dans l'équation du mouvement d'une particule [au niveau exact (11), comme dans la limite newtonienne (12)]. Contrairement à la théorie de Newton, en relativité générale cette égalité découle de la structure même de la théorie puisque (11) se déduit de (5) qui, elle-même, est une conséquence des équations de champ (7), puisque ∇_νG^μν est identiquement nul.

Reste à retrouver l'équation de Poisson liant le potentiel newtonien à la densité de masse. D'abord, pour un champ gravitationnel faible, on trouve que les équations d'Einstein (7) se réduisent au premier ordre aux équations (10). Dans l'hypothèse supplémentaire d'un champ lentement variable, ces dernières impliquent :

Si les pressions à l'intérieur de la source sont faibles, ainsi que les vitesses, la « source » (T⁰⁰ + Tⁱⁱ) est dominée par la densité de masse au repos ρc². On retrouve donc l'équation de Poisson ΔU = — 4π Gρ, à condition d'identifier la constante de couplage de la gravitation κ à '̅8π G/c⁴, où G est la constante newtonienne de gravitation.

Approximations postnewtoniennes et confirmations expérimentales

La très grande précision de certaines mesures de distances et de durées actuellement réalisées dans le système solaire nécessite de tenir compte très soigneusement des modifications que la relativité générale apporte à la description newtonienne de l'espace-temps. Par conséquent, la relativité générale est utilisée dans un grand nombre de situations, depuis la recherche astronomique ou géophysique (interférométrie radio à très longue base, poursuite radar des planètes, poursuite laser de la Lune ou de satellites artificiels), en passant par les applications métrologiques ou géodésiques (définition du temps atomique international, cartographie de précision), jusqu'au vaste spectre d'applications pratiques des systèmes de positionnement global par satellites (G.P.S.), allant de la construction du tunnel sous la Manche aux systèmes de navigation maritimes, aériens, ou même automobiles ! Pour ce faire, une méthode d'approximation, dite postnewtonienne, a été développée qui consiste à compléter la limite newtonienne esquissée ci-dessus en gardant les termes d'ordre supérieur dans le petit paramètre :

La description relativiste approchée ainsi obtenue est ensuite utilisée pour ajuster de façon globale un très grand nombre de mesures. Ce caractère global rend caduque la distinction traditionnelle de certains « tests classiques » de la relativité générale (comme la déflexion de la lumière ou l'avance relativiste des périhélies). Il est aujourd'hui plus approprié de distinguer, au sein de l'ajustement global entre la théorie et l'expérience, des effets physiques typiquement relativistes en utilisant une paramétrisation adéquate de la métrique postnewtonienne. Ce procédé de paramétrisation postnewtonienne (introduit par Arthur S. Eddington dès 1923 et généralisé à la fin des années 1960 par Kenneth Nordtvedt et Clifford M. Will) permet aussi de comparer les données expérimentales brutes avec les prédictions faites par d'autres théories relativistes de la gravitation qui ont été proposées comme alternatives à la relativité générale. Par exemple, la relativité générale prévoit que l'écart h_ij = g_ij — δ_ij entre la métrique d'espace et la métrique euclidienne vaut (dans un système de coordonnées adéquat) 2U δ_ij/c², alors que d'autres théories prévoient pour h_ij une expression de même type mais affectée en général d'un coefficient différent de 2. On utilise alors h_ij = 2γU δ_ij/c² où on laisse libre le paramètre γ qui sera ajusté au même titre que les autres paramètres inconnus lors de la comparaison globale entre théories et expérience. Parmi la dizaine de paramètres postnewtoniens que l'on peut ainsi introduire, deux jouent un rôle clé : γ, que l'on vient d'introduire, et le paramètre β, qui mesure certaines des non-linéarités de la gravitation relativiste, c'est-à-dire, physiquement, le fait que l'énergie du champ gravitationnel est elle-même source de gravitation (β = γ = 1 en relativité générale). Le caractère privilégié de γ et β vient de ce qu'ils paramétrisent complètement le régime postnewtonien des alternatives les plus simples à la relativité générale : les théories tenseur-scalaires de la gravitation. Dans ces théories, l'interaction gravitationnelle est transportée par deux champs à la fois : un champ tensoriel (spin 2) de masse nulle h_μν couplé à T^μν, et un champ scalaire (spin 0) de masse nulle ϕ couplé à la trace T^αα.

Toutes les expériences réalisées à ce jour dans le système solaire ont permis de déterminer, avec une précision atteignant le millième, les valeurs des paramètres postnewtoniens. Citons en particulier la mesure du retard, causé par le champ gravitationnel du Soleil, dans les échos radars sur la station Viking posée sur Mars, l'analyse globale de la dynamique du système solaire (incluant l'avance des périhélies planétaires), et la mesure très fine du mouvement relatif Terre-Lune obtenue à partir d'échos lasers sur les réflecteurs déposés sur la Lune. Le résultat global donne :

Notons au passage que la déflexion des rayons lumineux par le Soleil est proportionnelle à (1 + γ)/2 et permet donc de déterminer directement le paramètre γ. Mais la précision ainsi obtenue, même avec les meilleures techniques modernes utilisant des ondes radio, est seulement de l'ordre de 2 p. 100. Une telle précision est cependant suffisante pour déterminer, comme on y a fait allusion ci-dessus, que le champ qui propage l'interaction gravitationnelle à l'approximation linéarisée doit être de spin 2 et de masse nulle, si l'on suppose qu'il est irréductible. Tous les résultats ainsi obtenus sont compatibles avec la relativité générale (où β — 1 = γ — 1 = 0), et en constituent donc une excellente confirmation quantitative, au niveau de précision du millième. De plus, toute théorie alternative de la gravitation est fortement contrainte. Par exemple, dans les théories tenseur-scalaires le coefficient de couplage du champ scalaire à la matière doit être mille fois plus petit que celui du champ tensoriel einsteinien. Cependant, au niveau qualitatif, les expériences dans le système solaire n'explorent qu'un petit domaine de l'ensemble des manifestations de la gravitation : celui des champs gravitationnels faibles et quasi stationnaires. Des confirmations plus profondes de la relativité générale viendront de l'exploration des autres domaines de manifestation de la gravitation, notamment des champs gravitationnels forts et/ou rapidement variables. Nous ne discuterons pas ici les aspects cosmologiques de la gravitation relativiste.

Champs gravitationnels forts. Trous noirs

Le régime des champs gravitationnels forts se rencontre dans la physique des corps gravitationnellement condensés. Cette dénomination désigne les états finals de l'évolution des étoiles. Après épuisement de leurs sources d'énergie nucléaire, les étoiles finissent par condenser une masse énorme dans un rayon très petit, conduisant, selon la masse initiale, à une naine blanche, à une étoile à neutrons ou à un trou noir. Particulièrement importante est l'existence d'une borne supérieure à la masse d'une naine blanche ou d'une étoile à neutrons (cette borne supérieure ayant une origine profonde dans la théorie quantique – principe de Pauli – et dans la relativité restreinte – « adoucissement » de l'équation d'état d'un gaz ultrarelativiste). Alors, quand une étoile froide excède cette borne supérieure (de l'ordre de deux fois la masse du Soleil), rien ne peut l'empêcher de s'effondrer complètement sur elle-même. Ce processus catastrophique conduit très vraisemblablement à la formation d'un trou noir, c'est-à-dire une structure particulière d'espace-temps courbe caractérisée par l'existence d'une frontière (dite « horizon » ou surface du trou noir) entre une région extérieure, d'où il est possible d'émettre des signaux à l'infini, et une région intérieure, où tout signal émis reste piégé (fig. 1). Notons que le développement temporel de la région intérieure est limité, se terminant par une singularité où la courbure devient infinie et où la description classique de l'espace et du temps perd son sens. L'apparition d'une singularité associée à des régions de champ gravitationnel fort est d'ailleurs un phénomène générique de la théorie d'Einstein, comme le montrent des théorèmes dus à Roger Penrose et Stephen W. Hawking. Dans le cas de la formation d'un trou noir, cette singularité n'est pas « visible » de l'extérieur. La conjecture de « censure cosmique », due à Penrose, affirme que le processus d'effondrement d'un amas de matière conduit toujours à une telle singularité « cachée ».

Les trous noirs ont des propriétés remarquables. En particulier, un trou noir stationnaire isolé est complètement décrit par trois paramètres (sa masse M, son moment cinétique J : = Ma, et sa charge électrique Q) satisfaisant l'inégalité M² ≥ a² + Q², en unités où G = c = 1 ; il s'agit du « théorème d'unicité » dû à Werner Israel, Brandon Carter, David C. Robinson, Gary Bunting et Pawel O. Mazur. La géométrie d'espace-temps à l'extérieur d'un tel trou noir est donnée par :

Le caractère régulier de l'horizon r = 2M de (15) se vérifie par exemple en introduisant (à l'extérieur r > 2M, puis en prolongeant aux r ≤ 2M) les nouvelles coordonnées :

D'un intérêt particulier est aussi la région (dite « ergosphère ») comprise entre r = r₊ et r = M + '̅M² — a² cos²θ — Q². Dans cette région (qui n'existe que si a ≠ 0, c'est-à-dire pour un trou noir « tournant »), les effets de type « magnétique » de la gravitation du trou noir (initialement créés par les courants de matière dans l'étoile en rotation qui s'est effondrée) sont si intenses qu'ils entraînent nécessairement, tel un maelström, tout corps qui y pénètre dans un mouvement de rotation autour du trou noir. Dans cette région encore, il est possible pour une particule tombant depuis l'infini de s'y désintégrer de telle sorte que l'un de ses fragments reparte à l'infini en emportant plus d'énergie que la particule incidente. Ce phénomène remarquable (d'abord noté par Penrose) montre qu'un trou noir est non seulement un puits de potentiel gravitationnel mais aussi un objet physique possédant une énergie libre importante qu'il est possible, en principe, d'extraire. L'énergétique des trous noirs est résumée dans leur « formule de masse » (due à Demetrios Christodoulou et Remo Ruffini) :

Signalons enfin, en revenant au niveau classique, que la formule de masse (16) montre que les trous noirs sont les plus grands réservoirs d'énergie libre de l'Univers, puisque 29 p. 100 de leur énergie de masse peut être stockée sous forme de rotation, et même 50 p. 100 sous forme d'énergie électrique (on comparera ces valeurs aux quelques pour-cent d'énergie de liaison nucléaire qui correspondent pourtant à toute la lumière émise par les étoiles pendant leur vie). Cela suggère que les trous noirs peuvent constituer le moteur central de certains des phénomènes les plus énergétiques de l'Univers, en particulier les quasars.

Rayonnement gravitationnel

Un autre domaine de la relativité générale qui suscite des recherches très actives, tant du point de vue théorique que du point de vue expérimental, est celui des champs gravitationnels rapidement variables, lesquels, une fois engendrés dans la source, s'en éloignent sous la forme d' ondes gravitationnelles. D'où trois problèmes séparés : celui de la génération, celui de la propagation et, enfin, celui de la détection du rayonnement gravitationnel. Dans le cas le plus simple d'ondes gravitationnelles très faibles, considérées très loin de leur source, la géométrie d'espace-temps associée peut s'écrire sous la forme g_μν = η_μν + h_μν, avec | h_μν | ⪡ 1. Alors, les équations de propagation de h_μν sont données (à l'ordre linéarisé) par l'équation (10), où l'on remplace le membre de droite par zéro. Dans un système de coordonnées adéquat, de telles ondes gravitationnelles satisfont h₀₀^TT = 0 = h_0iTT et :

Le problème de la génération consiste à chercher le lien entre l'amplitude tensorielle h_ijTT du rayonnement gravitationnel dans la zone d'ondes, et le mouvement et la structure de la source. Si l'on considère le cas le plus simple d'une source suffisamment peu condensée pour n'engendrer que des ondes partout faibles (h_μν ⪡ 1), on peut utiliser l'approximation linéarisée des équations d'Einstein (7), c'est-à-dire (10). Si l'on choisit un système de coordonnées tel que ∂^αh_αμ — (∂_μh^α_α/2) = 0, on trouve que h_μν est donné par :

On trouve alors que, de même que la conservation de la charge implique qu'il n'y a pas d'émission électrique de type monopolaire, mais seulement dipolaire ou d'un ordre de polarité plus élevé, de même la conservation de l'énergie-impulsion implique l'absence de rayonnements gravitationnels monopolaires et dipolaires. Pour une source lentement variable, le rayonnement gravitationnel dominant sera donc quadrupolaire ; il est donné, dans la zone d'ondes, par l'expression :

Enfin, le problème de la détection, dont le pionnier fut Joseph Weber dans les années 1960, suscite de nos jours de très actives recherches expérimentales. Le principe de tous les détecteurs repose sur le fait qu'une onde gravitationnelle d'amplitude h induit, lors de son passage, un déplacement de l'ordre de δL ∼ hL entre deux corps distants de L. Le problème est donc de détecter un très petit déplacement relatif δL/L ∼ h. Les détecteurs qui semblent aujourd'hui les plus prometteurs sont de grands interféromètres, du type Michelson ou Fabry-Pérot, ayant des bras kilométriques et dans lesquels est injecté un faisceau laser monochromatique très puissant. De tels systèmes ont été étudiés en Allemagne, en Australie, aux États-Unis, en France, en Italie, au Japon et au Royaume-Uni. Deux projets de détecteurs kilométriques ont été développés : le projet américain L.I.G.O. (Laser Interferometer Gravitational Wave Observatory) et le projet Virgo (collaboration France-Italie). Ils permettent de mesurer des amplitudes h aussi faibles que 10^—22, et ainsi de détecter le rayonnement gravitationnel émis lors des étapes ultimes d'évolution de systèmes doubles d'étoiles à neutrons, comme les pulsars binaires décrits ci-dessous, situés dans des galaxies lointaines (jusqu'à 600 millions d'années de lumière de nous). La détection des ondes gravitationnelles apportera des renseignements inestimables pour l'astronomie en ouvrant une nouvelle « fenêtre » sur l'Univers.

Pour conclure ce survol des aspects classiques de la relativité générale, parlons brièvement des « pulsars binaires », c'est-à-dire des systèmes doubles constitués d'un pulsar (étoile à neutrons en rotation rapide sur elle-même) et d'une étoile compagnon très dense (étoile à neutrons ou naine blanche). Le premier système de ce type, nommé PSR 1913 + 16, a été découvert par Russell A. Hulse et Joseph H. Taylor en 1974. Grâce aux observations régulières réalisées par Joseph H. Taylor et ses collaborateurs depuis sa découverte, il a été possible de suivre avec une précision remarquable le mouvement orbital du pulsar. Ce qui rend ce système si intéressant du point de vue théorique, c'est qu'il contient des régions où le champ gravitationnel est très intense. En effet, la courbure de l'espace-temps à l'intérieur et au voisinage immédiat du corps gravitationnellement condensé qu'est le pulsar (et sans doute aussi son compagnon) est grande (avec | h_μν | de l'ordre de 0,40, au lieu de 10^—6 dans le système solaire). De plus, le fait que l' interaction gravitationnelle se propage à la vitesse de la lumière entre le pulsar et son compagnon joue un rôle important. L'étude théorique de ce système a nécessité le développement d'une nouvelle méthode capable de tenir compte de la présence de régions de champ fort, et de traiter avec soin le phénomène de propagation de l'interaction gravitationnelle. Cette méthode a d'abord permis de démontrer que, en relativité générale, tous les effets de champ gravitationnel fort pouvaient être absorbés dans la définition d'une « masse observable » pour chaque objet. Cette propriété, qui est encore un des aspects du principe d'équivalence, est caractéristique de la relativité générale et n'est pas vraie dans les autres théories de la gravitation (notamment les théories tenseur-scalaires où les effets de champ gravitationnel fort peuvent introduire d'importantes modifications dans l'interaction gravitationnelle de deux étoiles à neutrons). On voit là comment les mesures faites sur les pulsars binaires permettent d'aller au-delà des expériences effectuées dans le système solaire en sondant le régime des champs gravitationnels forts. Pour ce faire, il faut pouvoir effectuer une comparaison détaillée entre les données observationnelles brutes (qui consistent en une série discrète de temps d'arrivée sur Terre des impulsions électromagnétiques en provenance du pulsar en mouvement orbital) et une classe générale de théories de la gravitation. De façon un peu similaire à ce qui a été dit plus haut à propos des tests dans le système solaire, une telle comparaison est possible par un processus de paramétrisation appelé « postképlérien ». Mais, dans ce cas, ce n'est pas la métrique d'espace-temps que l'on paramétrise, mais directement la « formule de chronométrage » qui donne les temps d'arrivée théoriques des signaux sur Terre en fonction d'une vingtaine de « paramètres phénoménologiques ». On obtient alors des tests de la relativité générale (ainsi que d'une large classe d'autres théories de la gravitation) si l'on mesure plus de paramètres phénoménologiques que le nombre minimal de paramètres dynamiques qui suffisent à caractériser intrinsèquement le système. Dans le cas du système PSR 1913 + 16, il a été possible de mesurer trois paramètres phénoménologiques orbitaux (ou paramètres postképlériens) : ˙ω, qui mesure l'avance du périastre, γ (à ne pas confondre avec le paramètre postnewtonien introduit ci-dessus), qui mesure la dilatation gravitationnelle de la fréquence de rotation du pulsar sur lui-même, et ̣P, qui mesure la variation séculaire de la période orbitale. La physique des champs gravitationnels intenses entre dans la détermination de ˙ω, γ et ̣P. De plus, l'origine physique de ̣P peut être directement attribuée au fait que l'interaction gravitationnelle entre le pulsar et son compagnon se propage à la vitesse de la lumière (cf. équation 18). Cette propagation à vitesse finie produit, dans la force gravitationnelle agissant sur le pulsar, une composante opposée à sa vitesse orbitale qui fait progressivement « tomber » le pulsar sur une orbite plus basse autour de son compagnon, causant ainsi une diminution progressive de la période orbitale (̣P < 0). Notons que, dans quelque 300 millions d'années, cette « chute » progressive du pulsar et de son compagnon l'un vers l'autre conduira à un système binaire extrêmement serré, en mouvement spiral convergent, émettant, lors des derniers milliers d'orbites, un rayonnement gravitationnel très intense qui est le prototype des sources d'ondes gravitationnelles que les projets L.I.G.O. et Virgo cherchent à détecter dans d'autres galaxies. La mesure simultanée de ˙ω, γ et ̣P dans PSR 1913 + 16 donne lieu à un test combiné du régime de champ fort et des propriétés de propagation de la gravitation fig. 2). La relativité générale passe ce test avec une précision de 3,5 × 10^—3.

Un autre pulsar binaire, PSR 1534 + 12, découvert par Aleksander Wolszczan en 1991, a permis quant à lui de mesurer cinq paramètres postképlériens : ˙ω, γ et ̣P et deux nouveaux paramètres r et s, qui mesurent l'amplitude et la forme du retard gravitationnel des signaux du pulsar causé par la présence du compagnon. Ces cinq mesures simultanées donnent lieu à deux tests « purs » du régime de champ fort, et un test combiné du régime de champ fort et des aspects radiatifs de la gravitation. Là encore, la relativité générale passe ces trois nouveaux tests avec un complet succès.

En conclusion, l'étude des pulsars binaires a permis de confirmer pour la première fois que la théorie d'Einstein décrit correctement le régime des champs gravitationnels intenses, et de prouver observationnellement que l'interaction gravitationnelle se propage à vitesse finie (ce qui démontre la réalité des ondes gravitationnelles).