FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES

Représentations par des intégrales

Forme intégrale des restes

Dans les problèmes de calcul différentiel, la forme intégrale des restes de développements en séries ou de développements asymptotiques est essentielle pour le contrôle de ces restes : formule de Taylor classique, formule interpolatoire de Lagrange-Hermite (cf. infra, chap. 4). À la formule de Taylor se rattache le théorème de division des fonctions différentiables : Soit f une fonction de classe C^p sur un intervalle I de centre a avec f (a) = 0 ; alors f peut s'écrire sous la forme :

Il en découle que g est de classe C^p-1 et que, pour I compact, on a, pour tout entier k ≤ p − 1, la majoration :

où M_n(h) désigne le maximum du module de la dérivée n-ième de h sur I.

Ce théorème se généralise aussitôt à plusieurs variables : Si f (a) = 0, avec a = (a₁, ..., a_n), alors, pour tout x = (x₁, ..., x_n), on a :

où les fonctions g_i sont de classe C^p-1 si f est de classe C^p. Ce théorème est à la base de la théorie des idéaux de fonctions différentiables (cf. calcul infinitésimal – Calcul à plusieurs variables, chap. 3).

Transformations de Fourier et de Laplace

Dans les problèmes d'analyse harmonique des phénomènes non périodiques (cf. analyse harmonique, chap. 3), on utilise la transformation de Fourier, réelle ou complexe, définie par la relation :

(ou des formes analogues selon les auteurs), et la formule d'inversion :

intuitivement, la formule (1) décompose le signal t ↦ f (t ) suivant toutes ses composantes harmoniques (analyse harmonique du signal), tandis que la formule (2) permet de reconstituer ce signal f à partir de ses composantes (synthèse harmonique du signal).

Dans le cas des fonctions définies dans [0, + ∞[, qui interviennent dans l'étude des régimes non permanents, on utilise la transformation de Laplace :

(cf. calcul symbolique). Cette transformation intervient aussi dans la résolution des équations différentielles à coefficients algébriques, notamment l'équation hypergéométrique (cf. calculs asymptotiques, chap. 6).

Les transformations de Fourier et de Laplace se généralisent aussi aux espaces Rⁿ et jouent alors un rôle fondamental dans la théorie des équations aux dérivées partielles linéaires (cf. équations aux dérivées partielles - Théorie linéaire) et plus généralement des équations de convolution (cf. automatique, théorie du signal). Elles jouent aussi un rôle de premier plan en calcul des probabilités, sous la forme des fonctions caractéristiques d'une loi de probabilité (cf. calcul des probabilités, chap. 3), dans la théorie des processus stochastiques du second ordre (cf. processus stochastiques, chap. 5 ; théorie du signal) et en mécanique quantique.

On peut aussi rattacher à l'analyse harmonique la transformation de Mellin, définie par la relation :

qui n'est autre que la transformation de Fourier sur le groupe multiplicatif R₊^* dont la mesure invariante est dt/t (cf. analyse harmonique). Cette transformation intervient notamment dans les problèmes multiplicatifs de la théorie des nombres (cf. théorie des nombres-Théorie analytique) ; la fonction gamma d'Euler (cf. fonction gamma) joue ici un rôle central.

Emploi de la dualité

La dualité consiste à représenter une fonction comme une forme linéaire sur un espace E de fonctions convenablement choisi. Ainsi, toute fonction f de puissance p-ième intégrable définit une forme linéaire continue T_f sur l'espace L^q des fonctions de puissance q-ième intégrable, pour 1/p + 1/q = 1, par la formule :

lorsque 1 < p < + ∞, on obtient ainsi toutes les formes linéaires continues sur L^q (cf. intégration et mesure, chap. 4). Mais, en utilisant d'autres espaces fonctionnels, on obtient ainsi des objets plus généraux que les fonctions. Cela tient au fait que, dans de nombreux[...]

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Écrit par

Jean-Louis OVAERT : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales
Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Graphe de f pour <RM>N</RM><INF>x</INF>(f)petit - crédits : Encyclopædia Universalis France — Graphe de f pour Nx(f)petit

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Graphe de f pour <RM>N</RM><INF>1</INF>(f) petit - crédits : Encyclopædia Universalis France — Graphe de f pour N1(f) petit

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Fonction à oscillation rapide - crédits : Encyclopædia Universalis France — Fonction à oscillation rapide

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