FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES

Séries entières

La somme d'une série entière de rayon de convergence R est une fonction indéfiniment différentiable dans son disque de convergence, et les dérivées successives à l'origine sont données par la formule de Taylor.

Inversement, dans de nombreux problèmes, il est utile de représenter une fonction f de classe C∞ par sa série de Taylor. Mais ici la situation est très différente selon qu'on se place sur le corps des nombres complexes ou sur celui des nombres réels. Dans le premier cas, la série de Taylor converge toujours vers la fonction dans tout disque où f est de classe C∞ (d'ailleurs la dérivabilité suffit ; cf. fonctions analytiques - Fonctions analytiques d'une variable complexe, chap. 2). Dans le cas du corps des réels, il existe des fonctions C∞ dans un intervalle ]− a, a[ dont la série de Taylor converge, mais vers une autre fonction : c'est le cas de la fonction f définie par f (0) = 0, f (x) = exp(− 1/x²), exemple introduit par Cauchy dans son Cours d'analyse (1821). Il existe aussi des fonctions C∞ dont la série de Taylor a un rayon de convergence nul : c'est le cas de la fonction :

Plus précisément, Émile Borel a montré que, pour toute suite (a_n) de nombres complexes, il existe une fonction C∞ sur R telle que, pour tout n, f ⁽ⁿ⁾(0) = a_n. Autrement dit, l'application de Taylor T de C∞(R) dans l'anneau C[[X]] des séries formelles à coefficients complexes, définie par :

Il n'est donc pas possible, comme l'a tenté Lagrange dans la Théorie des fonctions analytiques (1797), de fonder le calcul différentiel sur le développement en série de Taylor.

Ce phénomène est à l'origine du concept de fonction analytique réelle : ce sont les fonctions de classe C∞ dans un intervalle ouvert I de R développables en série de Taylor au voisinage de chaque point a de I. Ces fonctions peuvent être caractérisées parmi les fonctions C∞ dans I à l'aide d'inégalités du type suivant, portant sur la rapidité de croissance des modules des dérivées successives : pour tout intervalle compact K contenu dans I, il existe des constantes C_K et r_K telles que l'on ait, pour tout entier n :

Bien entendu, en tout point a ∈ I, l'application de Taylor T_a est injective sur le sous-espace vectoriel Cω(I) des fonctions analytiques dans I. Plus généralement, on dit qu'un sous-espace vectoriel V de C∞(I) est quasi analytique si la restriction de T_a à V est injective.

La condition (1) conduit plus généralement à considérer une suite croissante b = (β_n) tendant vers + ∞ et logarithmiquement convexe, c'est-à-dire vérifiant β²_n ≤ β_n-1β_n+1, et à introduire la sous-algèbre V_b de C∞(I) constituée des fonctions f telles que l'on ait :

Le théorème de Denjoy-Carleman affirme que V_b est quasi analytique si et seulement si la série de terme général (β_n)^−1/n est divergente.

Si V_b est quasi analytique, ses éléments ont des propriétés très rigides : en particulier, le principe du prolongement analytique est valable et V_b∩ D(I) est réduit à {0}. Au contraire, si V_b n'est pas quasi analytique, D_b(I) = V_b∩ D(I) est dense dans D(I) et les propriétés de V_b ressemblent à celles de D(I). L'exemple le plus intéressant est fourni par les classes de Gevrey, où β_n = (n !)^s, s > 1, auquel cas V_b se note D_s(I) ; cet espace étant muni d'un type de convergence analogue à celui de D(I), son dual topologique est constitué des ultradistributions : il est analogue à D′(I) mais beaucoup plus grand. Ces espaces interviennent dans l'étude des problèmes aux limites des équations aux dérivées partielles, où l'on introduit aussi l'espace vectoriel des fonctionnelles analytiques, c'est-à-dire le[...]