FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES

Position du problème

Ce sont les problèmes de tabulation numérique des fonctions transcendantes élémentaires (lignes trigonométriques, logarithmes) et, à partir du xvii^e siècle, le calcul approché des intégrales et des dérivées qui ont été à l'origine du développement des méthodes interpolatoires. D'autre part, dans de nombreux phénomènes continus intervenant en sciences physiques, décrits par exemple à l'aide d'une fonction, on ne connaît les valeurs de cette fonction qu'en un certain nombre de points qui correspondent aux mesures effectuées. Les problèmes issus de l'astronomie, en particulier la détermination de la trajectoire des planètes, ont aussi joué un rôle moteur, comme en témoignent notamment les travaux d'Euler, Lagrange, Legendre, Laplace et Gauss.

Dans tous les cas, le phénomène continu est remplacé par un phénomène discret. Plus précisément, supposons que le phénomène continu est décrit par une fonction numérique f d'une variable réelle. On se donne une subdivision S de l'intervalle [α, β], c'està-dire une suite croissante (α₀, α₁, ..., α_n) de points de [α, β] ; le module de la subdivision S est le nombre :

Lorsque α₀ = α, α_n = β et, pour tout j, α_j+1 − α_j = (β − α)/n, on dit que la subdivision  est  à  pas  constant,  et Δ(S) = (β − α)/n s'appelle le pas de S.

Dans ces conditions, on associe à S la suite finie (f (α₀), ..., f (α_n)). Nous dirons qu'il s'agit d'une discrétisation de f (cf. analyse numérique). Le problème est alors de savoir dans quelle mesure on peut reconstituer f à partir des phénomènes discrétisés associés. À cet effet, on interpole la suite précédente par une fonction simple, par exemple une fonction polynomiale que nous noterons P_S(f ), de degré ≤ n, prenant aux points α_j les mêmes valeurs que f. Dans le cas où S est à pas constant, cette méthode a été élaborée dès le xvii^e siècle, notamment par Newton et Gregory, dans le cadre du calcul des différences finies (cf. infra). L'étude du cas général a été ébauchée par Newton et reprise par Lagrange, Cauchy et Hermite.

Il s'agit alors d'estimer la différence f − P_S(f ), par exemple en majorant N_∞(f − P_S(f )), et d'étudier l'influence de la taille de l'intervalle [α, β], du choix de S et de la régularité de f sur la qualité de l'approximation. Il arrive souvent qu'on ne s'intéresse pas directement à f mais à la valeur d'une forme linéaire sur f. Pour ce type de problème, d'autres normes s'imposent : norme N₁ pour les intégrales, normes f ↦ N_∞(f ) + N_∞(Df ) pour les dérivées. Dans les phénomènes physiques, les normes N₂ interviennent souvent au titre de l'énergie.

On peut aussi se demander s'il est possible de reconstituer f comme limite de fonctions P_S(f ) en raffinant les subdivisions, c'est-àdire en faisant tendre le module Δ(S) vers 0. Mais cette question présente des difficultés (cf. infra, Interpolation polynomiale). C'est pourquoi on a recours à un procédé plus élaboré : on se donne f sur un intervalle[a, b], on découpe cet intervalle en p intervalles de longueur (b − a)/p et, sur chacun de ces intervalles notés [α, β], on approche f par P_S(f ). Le problème est alors de savoir comment on peut jouer sur les entiers n et p pour obtenir des approximations efficaces. Dans ce schéma plus élaboré, f est approchée sur[a, b]par une fonction ϕ continue et polynomiale par morceaux. On peut imposer en outre à ϕ des conditions de régularité plus fortes aux p − 1 points de subdivision de[a, b], ce qui conduit par exemple à la théorie des fonctions spline (cf. infra, Interpolation polynomiale par morceaux). Les méthodes de discrétisation[...]