FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES

Interpolation de Lagrange

Étant donné un élément b = (β₀, ..., β_n) ∈ Cⁿ⁺¹, on veut étudier les polynômes P à coefficients complexes tels que, pour tout j,

À cet effet, on introduit l'application linéaire u : C[X] → Cⁿ⁺¹ qui à tout polynôme P associe (P(α₀), ..., P(α_n)). Les équations (1) s'écrivent alors sous la forme :

Le noyau de u est constitué des polynômes P qui s'annulent en tout point α_j, c'est-à-dire qui sont divisibles par :

Ce polynôme N, dont la donnée équivaut à celle du système S, joue un rôle fondamental dans la théorie de l'interpolation ; on l'appelle le noyau interpolateur associé à S. Le théorème de division euclidienne des polynômes montre que C[X] = Keru ⊕ E_n, où E_n est l'espace vectoriel des polynômes de degré ≤ n.

L'application linéaire u induit un isomorphisme de E_n sur Cⁿ⁺¹. Ainsi, il existe un polynôme P_b de degré ≤ n et un seul tel que, pour tout j, on ait P_b(α_j) = β_j. Les solutions de (1) sont alors les polynômes P de la forme P = P_b + QN, où Q ∈ C[X].

En particulier, pour tout i, il existe un polynôme L_i de E_n et un seul tel que :

Dans ces conditions, on a :

Soit maintenant f une fonction continue à valeurs complexes sur [α, β], et b = (f (α₀), ..., f (α_n)) ; le polynôme P_b s'appelle le polynôme d'interpolation de Lagrange de f associé à S et se note L_S(f ). Ainsi, L_S(f ) est l'unique polynôme de degré inférieur à n tel que, pour tout j,

En outre, l'application u_S : f ↦ L_S(f ) est un projecteur de C([a, b]) sur le sous-espace vectoriel E_n.

On peut estimer la précision de l'approximation de f par L_S(f ), grâce au théorème de division des fonctions différentiables (cf. supra) ; on démontre que, si f est de classe Cⁿ⁺¹ sur [α, β], alors, pour tout t ∈ [α, β], on a la majoration :

Ces majorations ne peuvent pas être améliorées, car (8) et (9) sont des égalités lorsque f est le noyau interpolateur N.

Supposons maintenant que f est de classe C∞ ; donnons-nous une suite (S_n) de subdivisions telle que Δ(S_n) → 0 et notons plus simplement L_n(f ) le polynôme interpolateur de f associé à S_n. Dans ces conditions :

Pour étudier la convergence de L_n(f ) vers f, on observe que :

Pour remédier à ce défaut, on peut essayer de choisir les subdivisions S_n de telle sorte que ∥N_n+1∥_∞ soit minimale, ce qui a lieu lorsque N_n est le n-ième polynôme T_n de Tchebychev. Pour [α, β] = [− 1, + 1], on a :

Cependant, cette convergence n'a pas lieu pour toutes les fonctions continues. En effet, d'après un théorème de Faber, quelle que soit la suite (S_n), il existe une fonction continue f telle que ∥L_n(f )∥_∞ tende vers + ∞. Ce résultat est un des exemples cités par Banach et Steinhaus comme étant à l'origine du théorème qui porte leur nom (cf. espaces vectoriels normés, chap. 4).

Interpolation de Hermite

Il s'agit du cas plus général où l'on impose au polynôme interpolateur des contacts d'ordre donné avec la fonction f aux points α_j. On se donne cette fois une suite (α₀, ..., α_r) de points de [α, β], et une suite (n₀, ..., n_r) d'entiers strictement positifs. On pose :

Lorsque f est de classe Cⁿ⁺¹ sur [α, β], il existe un polynôme L_S(f ) de degré ≤ n et un seul tel que, pour tout j, 0 ≤ j ≤ r, et tout k, 0 ≤ k ≤ n_j − 1, on ait :

En outre, pour tout t ∈ [α, β],

Le polynôme L_S(f ) est le polynôme d'interpolation de Hermite associé à S. Le cas de Lagrange correspond à n_j = 1, tandis que la formule de Taylor correspond à r = 1 et n₀ = n + 1, c'est-à-dire :

Dans le cas où n_j = 2, c'est-à-dire :

Différences divisées

L'expression du polynôme interpolatoire de Lagrange (formule (7)) a l'avantage de faire intervenir de manière symétrique les points de subdivision, mais elle est mal adaptée au calcul numérique, d'autant plus que l'adjonction de points interpolateurs supplémentaires oblige à recommencer entièrement les calculs. Newton avait procédé en utilisant une autre base de l'espace vectoriel des polynômes de degré ≤ n, à savoir D₀ = 1, D₁ = X − α₀, D₂ = (X − α₀)(X − α₁), ..., D_n = (X − α₀) ... (X − α_n-1) ; ici la matrice de passage de la base canonique 1, X, ..., Xⁿ à cette base est beaucoup plus simple que dans le cas de Lagrange car elle est triangulaire.

Pour obtenir la décomposition dans cette base du polynôme interpolateur L_S(f ), on introduit les différences divisées de f relatives à S, définies par les relations de récurrence :

Dans ces conditions, on a la formule :

En outre, le reste est donné par la relation :

L'adjonction à S d'un point supplémentaire ne modifie pas les différences divisées précédentes. En outre, la différence divisée F_j est une fonction symétrique de α₀, ..., α_j, car :

Subdivisions à pas constant

Lorsque S est une subdivision de [α, β] à pas constant h = (β − α)/n, il est commode d'étudier d'abord le cas où h = 1 et α = 0, et donc β = n − 1 ; le noyau interpolateur s'écrit alors :

Pour calculer le polynôme interpolateur L_S(g), où g est définie sur [0, n − 1], on introduit l'opérateur de Bernoulli Δ, à savoir l'endomorphisme de C[X] défini par la relation :

L'étude de cet endomorphisme conduit à introduire une base de C[X] adaptée à Δ, définie par les relations de récurrence :

Ces polynômes sont donnés par les relations :

Les polynômes N_p s'appellent polynômes de Newton ; on remarquera que N_p = (1/p !) D_p. Dans ces conditions, tout polynome P se décompose sous la forme :

Appliquant la relation (19) à L_S(g), on obtient :

Le calcul des différences successives dites non divisées (Δ^pg)(0) est très facile. Le cas d'une fonction f définie sur [α, β] se ramène au cas précédent par changement de variable affine, en introduisant g(u) = f (α + (β − α)u).

On peut développer une théorie entièrement analogue en introduisant à côté de l'opérateur de Bernoulli progressif Δ, l'opérateur régressif ∇ défini par :

Les opérateurs Δ, ∇ et δ peuvent s'exprimer à l'aide des opérateurs de translation :

Généralisations

Le problème de l'interpolation se pose aussi pour les fonctions périodiques, auquel cas les fonctions polynomiales sont remplacées par des polynômes trigonométriques. Ces deux exemples se placent dans la théorie générale des systèmes de Tchebychev : on se donne un sous-espace E_n de dimension n + 1 de l'espace C([α, β]) qui est régulier, c'est-à-dire tel que tout élément de E_n qui s'annule en au moins n + 1 points est nul. Étant donné une base ϕ₀, ϕ₁, ..., ϕ_n de E_n, on interpole f par une combinaison linéaire de ces fonctions. On peut montrer, en particulier, que l'espace vectoriel des solutions d'une équation différentielle linéaire sans second membre d'ordre n + 1 est régulier.

Théorie classique

On considère cette fois une fonction f continue sur un intervalle[a, b], que l'on découpe en p intervalles[t_j, t_j+1]de longueur (b − a)/p et, sur chacun de ces intervalles, on effectue une interpolation de Lagrange ou de Hermite de f, par des polynômes de degré ≤ n. En pratique, n est fixé et assez petit pour éviter les phénomènes du type de Runge. Il s'agit alors d'étudier la convergence de la suite (ϕ_p) des fonctions polynomiales par morceaux ainsi obtenues vers la fonction f et la rapidité de convergence en fonction de la régularité de f.

Voici les deux exemples les plus importants.

1. Fonctions en escalier. Sur chaque intervalle[t_j, t_j+1], on approche f par une constante, par exemple f (t_j) ; ici n = 0. Grâce à la continuité uniforme de f sur[a, b], on montre aussitôt que les fonctions en escalier ainsi obtenues convergent uniformément vers f sur[a, b].

En outre, si f est lipschitzienne sur[a, b], alors :

2. Fonctions affines par morceaux. Sur chaque intervalle[t_j, t_j+1], on effectue une interpolation linéaire de f. On montre encore que les fonctions affines par morceaux ϕ_p ainsi obtenues convergent uniformément vers f sur[a, b]. En outre, si f est lipschitzienne de rapport k sur[a, b], on a :

Mais, cette fois, si f est de classe C¹, la rapidité de convergence est meilleure. Par exemple, si f ′ est lipschitzienne,

Dans certains problèmes, comme le calcul approché des intégrales (cf. analyse numérique, chap. 2), on est amené à interpoler f par des fonctions polynomiales par morceaux de degré n plus élevé. Lorsque f est de classe Cⁿ⁺¹, on a alors :

On constate ainsi que la rapidité de convergence est gouvernée par la régularité de f.

Fonctions spline

Lorsque n ≥ 2, le procédé précédent présente de nombreux inconvénients, car on approche des fonctions régulières f par des fonctions qui ne sont même pas de classe C¹. Il est donc intéressant d'approcher f par des fonctions ϕ satisfaisant aux deux conditions suivantes :

a) Sur chaque intervalle[t_j, t_j+1], la fonction ϕ est polynomiale de degré ≤ n ;

b) Sur[a, b], la fonction ϕ est de classe C^n-1 (conditions de recollement aux points t_j).

De telles fonctions sont appelées spline (tringle souple). L'espace vectoriel S_n([a, b]) de ces fonctions est de dimension n + p. Si on impose maintenant les p + 1 conditions interpolatoires relatives à la fonction f :

c) Pour tout j, 0 ≤ j ≤ p, on a l'égalité ϕ(t_j) = f (t_j), il reste n − 1 paramètres encore libres.

Le cas n = 2 (fonctions paraboliques par morceaux) ne conduit pas à une théorie intéressante car il ne reste qu'un seul paramètre, ce qui ne permet pas d'imposer une condition de contact aux deux extrémités de l'intervalle[a, b]. Au contraire, le cas n = 3 (fonctions spline cubiques) convient bien car il permet d'imposer la condition :

d) ϕ′(a) = f ′(a) et ϕ′(b) = f ′(b).

Les fonctions spline cubiques conviennent aussi pour l'interpolation des fonctions périodiques. Dans ce cas, on impose à ϕ de se prolonger en une fonction périodique de classe C² sur R, ce qui conduit à remplacer la condition (d) par :

d′) D₊ϕ(a) = D_-ϕ(b) et D²₊ϕ(a) = D²_-ϕ(b), en désignant par D₊ et D_- les opérateurs de dérivation à droite et à gauche.

On démontre que les conditions a, b, c, d ou (d′), déterminent ϕ de manière unique. Cette fonction se note S_p(f ) et s'appelle fonction spline cubique interpolant f à l'ordre p. Il faut cependant remarquer que le calcul explicite de ϕ nécessite la résolution d'un système d'équations linéaires assez compliqué. En revanche, la qualité de l'approximation est excellente :

– si f est de classe C¹, on a :

– si f est de classe C² :

– si f est de classe C³, alors, pour k ≤ 2 :

– enfin, si f est de classe C⁴, alors, pour k ≤ 3 :

Cependant, si f est de classe C∞, ou même polynomiale de degré ≥ 4, on ne peut pas améliorer la dernière estimation.

Un autre pôle d'intérêt des fonctions spline est relatif à leurs propriétés pour la norme quadratique. Plus précisément, si f est de classe C², pour tout élément ϕ de S_2,p([a, b]), on a :

La théorie des fonctions spline peut se généraliser aux spline d'ordre impair quelconque. Les propriétés d'approximation sont alors meilleures mais les calculs sont encore plus complexes que pour n = 3, si bien qu'elles sont peu utilisées en analyse numérique.