- 1. Convergences usuelles en analyse
- 2. Représentations par des intégrales
- 3. Représentations par des séries
- 4. Approximation par des suites
- 5. Interpolation et discrétisation
- 6. Opérations sur les représentations et les approximations
- 7. Stabilité et consistance
- 8. Optimisation de l'approximation ; rapidité de convergence
- 9. Bibliographie
FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES
Opérations sur les représentations et les approximations
Nous avons déjà vu que l'emploi des représentations pour la résolution des problèmes nécessite de pouvoir opérer sur ces représentations : il s'agit non seulement des opérations algébriques (tomme, produit...) mais aussi des opérations de passage à la limite (limites de suites, sommes de séries, intégration, dérivation). Ces problèmes rentrent dans le schéma général d'interversions de passages à la limite. Nous commencerons par préciser les propriétés stables par passage à la limite uniforme pour les suites de fonctions, ce qui est étroitement lié au cas des séries, puis nous examinerons le cas des représentations intégrales. Nous terminerons par quelques indications sur les autres modes de convergence.
Suites de fonctions
Les trois problèmes les plus importants sont les suivants.
Problème 1. Continuité et passage à la limite. Soit (fn) une suite de fonctions continues sur un espace métrique A à valeurs complexes, convergeant sur A vers une fonction f. La fonction f est-elle continue sur A ?
La réponse est négative pour la convergence simple, comme le montre l'exemple A = [0, 1] et f (x) = xn.
Théorème 1. Stabilité de la continuité. Si (fn) converge uniformément vers f sur tout compact de A, alors f est continue sur A.
Problème 2. Passage à la limite dans les intégrales. On dispose de deux résultats très importants. Le premier est élémentaire.
Théorème 2. Passage à la limite dans les intégrales (cas compact).
Soit (fn) une suite d'applications continues de[a, b]dans C qui converge uniformément vers f sur[a, b]. Alors :
Ce résultat s'étend si on remplace le segment[a, b]par une partie compacte de Rm.
Le second résultat a une portée beaucoup plus générale ; il se place dans le cadre de la théorie de l'intégrale de Lebesgue.
Théorème 2 bis (théorème de convergence dominée). Soit (fn) une suite de fonctions à valeurs complexes intégrables sur I et qui converge simplement vers f sur I. On suppose qu'il existe une fonction ϕ ≥ 0, intégrable sur I, telle que l'on ait :
Alors f est intégrable et on a :
Ce résultat s'étend sans changement au cas où I est une partie localement compacte de Rm. Problème 3. Passage à la limite dans les dérivées. Soit (fn) une suite de fonctions de classe C1 sur un intervalle I de R, à valeurs complexes, convergeant vers f sur I. La fonction f est-elle de classe C1 sur I et a-t-on Df = limDfn ?
L'exemple de I = [0, 1] et fn(x) = (sinnx)/n montre que la convergence uniforme ne suffit pas. Il faut donc faire des hypothèses sur la suite (Dfn). Théorème 3. Passage à la limite dans les dérivées. On fait les hypothèses suivantes sur la suite (fn) :
a) fn converge vers f uniformément sur tout compact de I ;
b) f ′n converge vers g uniformément sur tout compact de I.
Alors f est de classe C1 sur I et f ′ = g, autrement dit :
Ce théorème s'étend aussitôt aux fonctions de classe Cp et C∞ et au cas des fonctions définies sur un ouvert U de Rm.
On notera que, en revanche, dans le cas des fonctions analytiques d'une variable complexe, la convergence uniforme sur tout compact de fn vers f entraîne celle de Dfn vers Df (théorème de Weierstrass, cf. fonctions analytiques -Fonctions d'une variable complexe, chap. 5).
Séries de fonctions
On se donne une série un de fonctions définies sur un espace métrique A et à valeurs complexes.
On dit que cette série converge simplement (resp. uniformément) vers une fonction f si la suite des sommes partielles
Pour vérifier que la série converge uniformément, on utilise souvent la méthode des séries numériques majorantes. On dit qu'une série numérique βn, βn ≥ 0, est une série majorante sur A de la série[...]
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Écrit par
- Jean-Louis OVAERT : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
Classification
Médias
Graphe de f pour
Encyclopædia Universalis France
Graphe de f pour
Encyclopædia Universalis France
Fonction à oscillation rapide
Encyclopædia Universalis France
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ce problème Pn est obtenu en divisant I = [x0, x0 + a]en n parties égales avec un pas égal à h = a/n et en cherchant uneapproximation yi de y(xi) où y est la solution (lorsqu'elle est unique) de P1.
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