- 1. Convergences usuelles en analyse
- 2. Représentations par des intégrales
- 3. Représentations par des séries
- 4. Approximation par des suites
- 5. Interpolation et discrétisation
- 6. Opérations sur les représentations et les approximations
- 7. Stabilité et consistance
- 8. Optimisation de l'approximation ; rapidité de convergence
- 9. Bibliographie
FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES
Stabilité et consistance
On peut décrire les procédés linéaires d'approximation par le schéma général suivant : soit E et F des espaces vectoriels normés de fonctions, et u une application linéaire continue de E dans F. Un processus linéaire d'approximation de u est une suite (un) d'applications linéaires continues de E dans F telles que, pour tout élément f de E, un(f ) converge vers u(f ).
Le cas le plus classique est celui où F = E et où u est l'application identique de E, c'est-à-dire où un(f ) converge vers f ; nous en avons fourni de nombreux exemples aux chapitres 4 et 5, les plus significatifs étant ceux des séries de Fourier et de l'interpolation de Lagrange. Le cas où F = C, c'est-à-dire où u est une forme linéaire sur E est aussi très intéressant (cf. analyse numérique).
Stabilité
Un des problèmes les plus importants, surtout pour l'analyse numérique, concerne la stabilité du processus (un) : si l'on fait une petite erreur sur la fonction f, c'est-à-dire si on remplace f par une fonction g proche de f dans E, un(g) converge-t-elle vers un élément proche de u(f ) ? La réponse est fournie par le résultat suivant.
Théorème 1. Caractérisation des processus stables.
1. Si la suite (∥un∥) des normes des applications linéaires un est bornée par un nombre M indépendant de n, alors, pour tout couple (f, g) d'éléments de E :
2. Réciproquement, si (∥un∥) n'est pas bornée, alors, pour tout élément f de E, il existe une suite (gn) d'éléments de E qui converge vers f et telle que ∥un(gn) − u(f )∥ → + ∞.
C'est pourquoi, on dit que le processus (un) est stable dans le cas (1) et instable dans le cas (2).
En fait, ce résultat n'est pertinent que si les espaces normés E et F sont complets, car, si E n'est pas complet, E est un sous-espace dense d'un espace normé plus gros, à savoir son complété ; si bien que, en faisant une erreur sur f, on risque de passer à un élément g de Ê qui n'appartient pas à E. C'est le cas où, par exemple, Ê = C([a, b]) muni de la norme de la convergence uniforme et si E = Cp([a, b]). D'où l'intérêt du résultat suivant.
Théorème 1′. Stabilité et passage à un sous-espace vectoriel dense. Soit Ê et F des espaces de Banach et E un sous-espace dense de Ê. On considère une suite (un) d'applications linéaires continues de E dans F satisfaisant aux deux conditions suivantes :
a) pour tout f de E, un(f ) → u(f ) ;
b) la suite des normes (∥un∥) est bornée par M.
Alors u est linéaire continue sur E, ∥u∥ ≤ M, et les applications un et u se prolongent de manière unique en des applications linéaires continues de Ê dans F, qui satisfont aux conditions (a) et (b) sur Ê. Ainsi, le processus (un) est stable, non seulement sur E mais sur Ê.
Dans le cas où E est complet, il est tout à fait remarquable que la convergence implique la stabilité.
Théorème 2 (stabilité et complétude). Soit E et F des espaces de Banach, (un) une suite d'applications linéaires continues de E dans F telle que, pour tout x de E, la suite (un(x)) converge dans F vers u(x). Alors :
a) il existe M tel que ∥un∥ ≤ M ;
b) u est linéaire continue ;
c) un → u uniformément sur tout compact de E.
C'est le théorème de Banach-Steinhaus (cf. espaces vectoriels normés, chap. 4).
Le cas des séries de Fourier est à cet égard exemplaire ; c'est d'ailleurs un des exemples qui a été historiquement à l'origine du théorème général précédent. Ici E est l'espace vectoriel C(T) des fonctions continues 1-périodiques muni de la norme N∞ ; cet espace est complet ; un est la forme linéaire qui, à tout élément f de C(T), associe la valeur de la somme partielle sn(f ) de sa série de Fourier en un point donné x ; un(f [...]
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Écrit par
- Jean-Louis OVAERT : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
Classification
Médias
Graphe de f pour
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Graphe de f pour
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Fonction à oscillation rapide
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