FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES

Stabilité

Un des problèmes les plus importants, surtout pour l'analyse numérique, concerne la stabilité du processus (u_n) : si l'on fait une petite erreur sur la fonction f, c'est-à-dire si on remplace f par une fonction g proche de f dans E, u_n(g) converge-t-elle vers un élément proche de u(f ) ? La réponse est fournie par le résultat suivant.

Théorème 1. Caractérisation des processus stables.

1. Si la suite (∥u_n∥) des normes des applications linéaires u_n est bornée par un nombre M indépendant de n, alors, pour tout couple (f, g) d'éléments de E :

2. Réciproquement, si (∥u_n∥) n'est pas bornée, alors, pour tout élément f de E, il existe une suite (g_n) d'éléments de E qui converge vers f et telle que ∥u_n(g_n) − u(f )∥ → + ∞.

C'est pourquoi, on dit que le processus (u_n) est stable dans le cas (1) et instable dans le cas (2).

En fait, ce résultat n'est pertinent que si les espaces normés E et F sont complets, car, si E n'est pas complet, E est un sous-espace dense d'un espace normé plus gros, à savoir son complété ; si bien que, en faisant une erreur sur f, on risque de passer à un élément g de Ê qui n'appartient pas à E. C'est le cas où, par exemple, Ê = C([a, b]) muni de la norme de la convergence uniforme et si E = C^p([a, b]). D'où l'intérêt du résultat suivant.

Théorème 1′. Stabilité et passage à un sous-espace vectoriel dense. Soit Ê et F des espaces de Banach et E un sous-espace dense de Ê. On considère une suite (u_n) d'applications linéaires continues de E dans F satisfaisant aux deux conditions suivantes :

a) pour tout f de E, u_n(f ) → u(f ) ;

b) la suite des normes (∥u_n∥) est bornée par M.

Alors u est linéaire continue sur E, ∥u∥ ≤ M, et les applications u_n et u se prolongent de manière unique en des applications linéaires continues de Ê dans F, qui satisfont aux conditions (a) et (b) sur Ê. Ainsi, le processus (u_n) est stable, non seulement sur E mais sur Ê.

Dans le cas où E est complet, il est tout à fait remarquable que la convergence implique la stabilité.

Théorème 2 (stabilité et complétude). Soit E et F des espaces de Banach, (u_n) une suite d'applications linéaires continues de E dans F telle que, pour tout x de E, la suite (u_n(x)) converge dans F vers u(x). Alors :

a) il existe M tel que ∥u_n∥ ≤ M ;

b) u est linéaire continue ;

c) u_n→ u uniformément sur tout compact de E.

C'est le théorème de Banach-Steinhaus (cf. espaces vectoriels normés, chap. 4).

Le cas des séries de Fourier est à cet égard exemplaire ; c'est d'ailleurs un des exemples qui a été historiquement à l'origine du théorème général précédent. Ici E est l'espace vectoriel C(T) des fonctions continues 1-périodiques muni de la norme N_∞ ; cet espace est complet ; u_n est la forme linéaire qui, à tout élément f de C(T), associe la valeur de la somme partielle s_n(f ) de sa série de Fourier en un point donné x ; u_n(f ) n'est autre que D_n * f (x), où D_n est le noyau de Dirichlet.

On montre que :

Ainsi, ∥D_n∥₁ n'est pas borné ; il existe donc des fonctions continues dont la série de Fourier diverge au point x. Cependant, la convergence uniforme de s_n(f ) vers f est assurée par exemple si f appartient au sous-ensemble dense des fonctions périodiques de classe C¹ (cf. séries trigonométriques).

Comme nous l'avons déjà vu au chapitre 5, un phénomène analogue se produit pour les processus interpolatoires.

En revanche, le processus d'approximation par les sommes partielles s_n(f ) est stable sur (C(T), N₂), et même sur (L²(T), N₂) car ici s_n est un projecteur orthogonal et ∥s_n∥₂ = 1. De même, si on prend les sommes de Fejer σ_n(f ) = F_n * f, alors ∥σ_n∥_∞ = 1, ce qui assure la stabilité sur (C(T), N_∞).

On observera que, dans ce dernier cas, le noyau est positif. Cette condition assure la stabilité de manière très générale.

Théorème 3. Continuité des opérateurs linéaires positifs. Soit u un endomorphisme de l'espace vectoriel C(T), ou C([a, b]), muni de la norme N_∞. On suppose u positif, c'est-à-dire u(f ) ≥ 0 pour tout f ≥ 0. Alors u est continu ; plus précisément :

Autrement dit, ∥u∥ ≤ N_∞(u(1)).

Si maintenant (u_n) est une suite d'opérateurs linéaires positifs qui converge simplement vers un opérateur u, auquel cas u est positif, alors la condition de stabilité est satisfaite pour u_n :

En outre, le théorème suivant assure la convergence du processus sous des hypothèses très faibles.

Théorème 4 (théorème de Korovkine). Soit (u_n) une suite d'endomorphismes positifs de C([a, b]) muni de la norme N_∞ et u un endomorphisme de cet espace satisfaisant aux conditions suivantes : u_n(f ) → u(f ) uniformément sur[a, b]pour chacune des trois fonctions x ↦ 1, x ↦ x et x ↦ x². Alors u_n(f ) → u(f ) pour toute fonction continue f.

Ce théorème fournit une nouvelle démonstration, due à Bernstein, du théorème d'approximation polynomiale de Weierstrass.

Théorème 5. On considère les polynômes de Bernstein :

Si à tout f ∈ C([a, b]) on associe la fonction polynomiale u_n(f ) définie par :

alors u_n(f ) tend vers f uniformément sur[a, b].

La convergence n'est pas très rapide car, si f est, par exemple, la fonction x ↦ x², on a ∥u_n(f ) − f ∥ = 1/4 n.

D'ailleurs, l'approximation polynomiale par des opérateurs positifs u_n ne peut jamais être rapide, car on démontre que ∥u_n(f ) − f ∥_∞ n'est pas négligeable devant 1/n² pour l'une au moins des trois fonctions x ↦ 1, x ↦ x, x ↦ x².

Enfin, le théorème de Korovkine s'étend aussitôt au cas des fonctions continues périodiques ; il suffit que la convergence de u_n(f ) vers f soit assurée pour les trois fonctions x ↦ 1, x ↦ cos2 πx, x ↦ sin2 πx. On retrouve ainsi la convergence uniforme des sommes de Fejer σ_n(f ) pour toute fonction continue périodique ; ici encore la convergence est lente car ∥σ_n(f ) − f ∥_∞ est exactement de l'ordre de 1/n lorsque f (x) = |cos2 πx|.

Consistance

Dans de nombreux exemples, le processus d' approximation (u_n) d'une application u de E dans F se présente sous la forme suivante : on se donne une suite (E_n) de sous-espaces vectoriels de dimension finie d'un espace vectoriel normé E de fonctions telle que

soit dense dans E. On dit alors que le processus (u_n) est consistant si, pour tout élément ϕ ∈ E_n, u_n(ϕ) = u(ϕ), c'est-à-dire u_n = u sur E_n.

Un cas particulièrement important est celui où u_n est défini à partir d'une suite (p_n) de projecteurs de E sur E_n grâce à la relation u_n = u ∘ p_n. Si E = F = C(T) muni de la norme N₂ et si E_n = T_n est l'espace vectoriel des polynômes trigonométriques de degré ≤ n, on peut prendre pour p_n le projecteur orthogonal de E sur E_n. Il en est de même si E = F = C([a, b]), muni de la norme :

où π est un poids, c'est-à-dire une fonction positive intégrable donnée sur[a, b]et si E_n = P_n.

Lorsque E = F = C([a, b]) muni de la norme N_∞ et E_n = P_n, les interpolations de Lagrange ou, plus généralement, d'Hermite constituent aussi des exemples significatifs.

Pour étudier la convergence des processus consistants, l'idée est de comparer u_n(f ) à un élément ϕ_n(f ) approchant f le mieux possible. Plus précisément, on note δ_n(f ) la distance d'un élément f de E à E_n, définie par :

Comme E_n est de dimension finie, il existe au moins un élément ϕ_n∈ E_n tel que ∥f − ϕ_n∥ = d(f, E_n) ; on dit alors que ϕ_n optimise l'approximation de f par les éléments de E_n. L'étude de ce problème est abordée au chapitre 8.

Dans ces conditions, comme u_n(ϕ_n) = u(ϕ_n),

Le problème de la convergence du processus (u_n) et de sa rapidité de convergence est alors séparé en deux questions totalement distinctes :

– l'évaluation de δ_n(f ) qui est liée à la régularité de la fonction que l'on veut approcher ;

– l'évaluation de ∥u_n∥ qui mesure la qualité du processus d'approximation.