RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
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Calculs élémentaires d'élasticité
Beaucoup d'éléments de construction travaillent dans des conditions simples, l'analyse de leurs contraintes et de leurs déformations pouvant être effectuée par des méthodes simplifiées qui évitent la résolution de toutes les équations de la mécanique des milieux continus.
Cas de sollicitations simples
Traction ou compression simple
Traction simple
Encyclopædia Universalis France
Sur la section considérée, le torseur des efforts extérieurs se réduit à la force normale. La contrainte normale constante dans la section vaut σ = F/S et la déformation vaut ε = F/ES.
Si la section est une fonction de la coordonnée d'axe y, le déplacement d'allongement ou de raccourcissement de l'élément de longueur L0 est :
Sphère sous pression
Encyclopædia Universalis France
Par exemple, le calcul de la contrainte dans la paroi d'un réservoir sphérique (d'épaisseur constante faible par rapport au rayon) soumis à une pression intérieure relève de ce processus ; l'action d'un hémisphère isolé se réduit à une force normale répartie sur le cercle de coupure :
Cisaillement pur
Rivet soumis à cisaillement
Encyclopædia Universalis France
Le seul effort agissant est l'effort tranchant T : c'est un cas de travail fréquent pour les rivets.
On admet que la contrainte tangentielle est constante dans la section τ = T/S ; mais il s'agit d'une hypothèse grossière. Dans le cas d'une section circulaire, la contrainte ainsi calculée ne vaut que les trois quarts de la contrainte au centre de la section, calculée par une théorie plus élaborée.
Flexion pure ou circulaire
Poutre : flexion pure d'un élément
Encyclopædia Universalis France
L'élément de poutre est soumis à la seule action d'un moment dit fléchissant. L'hypothèse de Bernoulli (deux sections planes et normales à l'axe restent planes et normales à l'axe après déformation) permet d'écrire a priori la loi linéaire de déformation de l'élément :
Les contraintes σ = (E/ρ)y doivent équilibrer le moment M égal à :
En introduisant le moment d'inertie de surface :
La contrainte s'en déduit immédiatement par la relation σ = − (M/I)y.
Torsion pure
Poutre : torsion pure d'un élément
Encyclopædia Universalis France
Soit un cylindre circulaire droit soumis, aux deux extrémités, à deux couples antagonistes égaux C. On admet que deux sections voisines restent planes après déformation. Soit dθ/dx leur rotation relative ; la déformation tangentielle est par définition :
Cette contrainte répartie sur la section doit équilibrer le couple de torsion :
La rotation unitaire et la contrainte tangentielle s'expriment par :
Ces formules sont utilisées, par exemple, dans le calcul des ressorts hélicoïdaux pour lesquels chaque élément travaille en torsion. On peut ainsi exprimer la raideur du ressort (rapport entre la force et la flèche, la flèche étant la hauteur d'affaissement d'un ressort soumis à une charge) en fonction de son diamètre, du diamètre du fil utilisé, du nombre de spires et du module de cisaillement du matériau.
Calcul des déformées des poutres
Nombre de problèmes relatifs aux poutres consistent à calculer les flèches qu'elles prennent sous l'action des efforts appliqués. L'équation de base est celle de la flexion pure (1/ρ = M/EI), ce qui revient à négliger l'effet de l'effort tranchant. L'hypothèse des petites déformations permet de relier simplement la courbure à la variation de la flèche Y :
Poutres : conditions aux limites
Encyclopædia Universalis France
L'obtention de la flèche Y(x) consiste donc en la double intégration de l'équation différentielle avec les conditions aux limites appropriées : au droit d'un appui simple, la flèche est nulle ; au droit d'un encastrement, la flèche et la tangente à la déformée sont nulles.
Pour effectuer cette intégration, il faut exprimer le moment M en fonction de l'abscisse x. On isole l'une des deux parties de poutre séparées par la section d'abscisse x ; le moment M est alors le moment du torseur résultant des forces et des moments appliqués à cette partie de poutre (efforts extérieurs et réactions d'appuis). Lorsque la poutre est hyperstatique, une équation supplémentaire doit être trouvée soit par des considérations géométriques, soit par application du principe de superposition, soit encore par application de principes énergétiques.
Ressort à lames
Encyclopædia Universalis France
Dans certains cas, on cherche à concevoir des poutres d'égale résistance, c'est-à-dire des poutres dont la section évolutive est telle que la contrainte normale maximale soit constante. Un ressort à lames est le plus souvent conçu comme une poutre d'égale résistance, car l'énergie de déformation pour un volume donné est alors maximale.
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Écrit par
- Jean LEMAITRE : professeur à l'université Paris-VI
Classification
Médias
Glissement freins bloqués
Encyclopædia Universalis France
Vecteur contrainte sur partition d'un solide
Encyclopædia Universalis France
Élément infiniment petit : déformation
Encyclopædia Universalis France
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