RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
Méthodes générales de calcul
Pour revenir au cas général, résoudre un problème de résistance des matériaux, c'est trouver les champs de contrainte, de déformation et de déplacement qui vérifient simultanément les équations d'équilibre de l'élément de volume, les relations entre les déformations et le déplacement, les équations de comportement (loi de Hooke généralisée en élasticité) et les conditions aux frontières (efforts ou déplacements imposés).
Cela revient à résoudre un problème à quinze équations (dont certaines sont des équations aux dérivées partielles) à quinze inconnues, fonctions d'espace et éventuellement du temps (viscoplasticité). Sauf pour quelques cas particuliers, on ne sait pas trouver la solution rigoureuse et l'on se contente de solutions approchées. La plupart des méthodes de résolution consistent à imaginer, à des fonctions ou coefficients près, un champ de contrainte « statiquement admissible » (vérifiant les équations d'équilibre de l'élément de volume et les conditions aux limites du problème) ou un champ de déplacement cinématiquement admissible (vérifiant les conditions aux limites du problème), et à déterminer ces fonctions ou coefficients pour satisfaire au mieux les équations du problème. Des hypothèses cinématiques propres à certains types de structures aident aux choix des champs de déplacement : hypothèse de Bernoulli pour les poutres, hypothèse de Kirchhoff pour les coques (un élément normal à la surface moyenne de la coque reste normal après déformation).
La notion d'énergie de déformation W et les principes et théorèmes qui s'y rattachent conduisent à des solutions élégantes et rapides. On définit la variation d'énergie de déformation d'un solide V dans une transformation infiniment lente qui produit une variation dε du tenseur de déformation par :
Dans le cas d'une déformation élastique linéaire ε à partir de l'état naturel non chargé, l'énergie potentielle de déformation vaut :
Le principe des travaux virtuels constitue un moyen particulièrement fécond de traduire la loi fondamentale de l'équilibre statique : Pour tout déplacement virtuel, la somme des travaux des efforts extérieurs et des forces intérieures est identiquement nulle. Par le choix de mouvements particuliers, on peut construire logiquement les théories de poutres, de plaques ou de coques soumises à des chargements quelconques. On en déduit également le théorème de l'énergie potentielle : Le champ des déplacements réels, solution d'un problème donné, est le champ des déplacements cinématiquement admissibles qui minimise l'énergie potentielle du système. On peut alors appliquer la méthode de Rayleigh-Ritz qui consiste à imaginer une famille de champs cinématiquement admissibles dépendant de n paramètres Ci. L'énergie potentielle Wpot s'exprime en fonction de ces n variables ; son minimum absolu n'est pas forcément parmi toutes les combinaisons possibles des valeurs des n variables, puisque leur nombre est fini, mais, d'après le théorème énoncé, la combinaison la plus proche de la solution réelle est celle qui est solution des n équations algébriques :
La méthode des éléments finis adaptée aux calculs sur ordinateurs utilise ce principe. La structure est décomposée en petits éléments simples (éléments triangulaires pour les problèmes plans, pyramides pour les problèmes tridimensionnels) pour lesquels on connaît les relations entre efforts (forces et moments) et déplacements aux nœuds (sommets des éléments). La méthode consiste à trouver les déplacements aux nœuds de tous les éléments assemblés qui minimisent l'énergie potentielle. On est ainsi ramené à la résolution d'un système linéaire qui nécessite l'inversion d'une matrice. Le problème numérique correspondant est ardu à cause de[...]
La suite de cet article est accessible aux abonnés
- Des contenus variés, complets et fiables
- Accessible sur tous les écrans
- Pas de publicité
Déjà abonné ? Se connecter
Écrit par
- Jean LEMAITRE : professeur à l'université Paris-VI
Classification
Médias
Glissement freins bloqués
Encyclopædia Universalis France
Vecteur contrainte sur partition d'un solide
Encyclopædia Universalis France
Élément infiniment petit : déformation
Encyclopædia Universalis France
Autres références
-
ACIER - Technologie
- Écrit par Louis COLOMBIER , Gérard FESSIER , Guy HENRY et Joëlle PONTET
- 14 176 mots
- 10 médias
...auxquels ils peuvent être amenés par des traitements se fait en déterminant un certain nombre de grandeurs relatives aux diverses propriétés du métal. Les plus courantes, sinon les plus importantes, se rattachent, d'une part, à la ténacité de l'acier, c'est-à-dire à la résistance opposée aux... -
ALLIAGES
- Écrit par Jean-Claude GACHON
- 7 362 mots
- 5 médias
...chrome, le nickel, le manganèse... La rouille des aciers ordinaires est le plus connu des phénomènes de dégradation des alliages métalliques ; il a suscité la naissance d'aciers inoxydables, qui renferment une quantité de chrome de l'ordre de 20 p. 100 en poids, ainsi que d'autres éléments d'addition... -
ARCHITECTURE (Matériaux et techniques) - Acier
- Écrit par Philippe BOUDON
- 3 257 mots
- 9 médias
...armé et construction métallique – et qui ont remis en question d'une manière fondamentale la syntaxe élaborée depuis des siècles par les constructeurs. Dans l'un et l'autre cas, le caractère technologique fondamental de l'acier est sa haute résistance à la traction. Sa résistance à la compression est également... -
ARCHITECTURE CONTEMPORAINE - Construire aujourd'hui
- Écrit par Antoine PICON
- 6 531 mots
- 3 médias
...métalliques, minérales ou organiques, en passant par les poudres réactives. Grâce à ces adjuvants, on est capable de produire des bétons possédant une résistance élevée au gel, ou encore de très hautes performances mécaniques. En France, les premiers ouvrages importants faisant appel à ces bétons spéciaux... - Afficher les 39 références
