DEDEKIND RICHARD (1831-1916)
Les courbes algébriques planes
En 1882, en collaboration avec H. Weber, Dedekind montrait que les mêmes principes peuvent aussi servir à fonder, de façon purement algébrique, la théorie des courbes algébriques planes qui, jusqu'alors, paraissaient du ressort de la géométrie et de l'analyse. Ce qui doit ici remplacer l'anneau des entiers rationnels Z, c'est l'anneau C[x]des polynômes en une variable, à coefficients complexes ; si l'on part d'une courbe algébrique d'équation P(x,y) = 0, où P est un polynôme en deux variables, ce qui remplace le corps K est le corps formé des « fonctions rationnelles sur la courbe », c'est-à-dire des fonctions de x de la forme F(x,y)/G(x,y), où F et G sont deux polynômes dans lesquels il faut remplacer y par une « fonction algébrique » de x, solution de P(x,y) = 0. L'anneau A qu'il faut considérer est ici encore celui de toutes les « fonctions régulières » sur la courbe, c'est-à-dire celles des fonctions de K qui vérifient une équation de la forme :
On retrouve donc, ici encore, une des idées clés de la mathématique moderne, celle qui consiste à calculer sur des objets qui ne sont plus du tout des nombres ou des fonctions. De plus, le mémoire de Dedekind et Weber attirait pour la première fois l'attention sur une parenté frappante entre deux domaines mathématiques tenus jusque-là pour très éloignés, première manifestation de ce qui devait devenir un « leitmotiv » des travaux ultérieurs : la recherche des structures communes cachées sous des apparences parfois très diverses.
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Écrit par
- Jean DIEUDONNÉ : membre de l'Académie des sciences
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