CLEBSCH RUDOLF FRIEDRICH ALFRED (1833-1872)

Le mathématicien allemand Rudolf Friedrich Alfred Clebsch est né le 19 janvier 1833 à Königsberg (auj. Kaliningrad) et mort le 7 novembre 1872 à Göttingen. Il fit ses études à l'université de sa ville natale (1850-1854). Quoique Jacobi ne donnât plus de cours, l'école qu'il avait fondée était toujours florissante et parmi les professeurs de Clebsch on compte F. Richelot et O. Hesse, élèves de Jacobi. Clebsch perfectionna sa formation à Berlin et y débuta sa carrière académique. Par la suite, il enseigna successivement à l'École polytechnique de Karlsruhe (1858-1863), à l'université de Giessen (1863-1868) et à l'université de Göttingen.

Sous l'influence de Franz Neumann à Königsberg, Clebsch produisit ses premiers travaux scientifiques en physique théorique. Mais bientôt il se tourna vers les mathématiques pures, où il fournit sa contribution la plus importante en théorie des invariants algébriques et en géométrie algébrique.

La thèse de Clebsch (1854), soutenue à Königsberg, portait sur un problème d'hydrodynamique. Le traitement mathématique des problèmes de physique théorique l'intéressait plus que le côté purement expérimental, comme en témoigne aussi son ouvrage sur la théorie de l'élasticité (1862). La parution de ce livre clôt la première période de l'activité scientifique de Clebsch. Ses premières recherches en mathématiques pures lui ont été suggérées par la lecture des mémoires de Jacobi sur le calcul des variations et les équations différentielles aux dérivées partielles. Clebsch a collaboré à l'édition des Œuvres complètes de Jacobi. Il alla dans ses travaux plus loin que Jacobi, surtout dans la théorie de l'intégration des systèmes de Pfaff.

En géométrie algébrique, les travaux de Clebsch furent particulièrement féconds. Il y lia les méthodes traditionnelles de Jacobi et de Steiner aux investigations plus récentes des Anglais Cayley, Sylvester et Salmon. Le développement de la géométrie algébrique comme étude des invariants lors de transformations birationnelles s'était révélé insuffisant, et dans la seconde moitié du xix^e siècle on tentait plusieurs nouvelles approches. La première en date fut celle de Clebsch. Dès 1860, il s'intéressa aux courbes et surfaces du troisième et du quatrième degré et, en 1864, il tenta d'appliquer la théorie des fonctions d'une variable complexe et, en particulier, celle des fonctions abéliennes — sous l'impulsion puissante de la théorie de B. Riemann — à la théorie des courbes algébriques. Il reformula le théorème d'Abel sur les intégrales de première espèce (affirmant grosso modo qu'une somme d'intégrales de première espèce peut s'exprimer par p de ces intégrales plus des termes algébriques et logarithmiques) en termes de courbes, et introduisit (en 1864) la notion de genre p d'une courbe plane de degré n : si la courbe a d points doubles, alorsp = 1/2(n—1)(n—2)—d.

La notion de Clebsch est liée à la notion de connexité de Riemann : la surface de Riemann associée à une courbe algébrique de genre p est (2p + 1) fois connexe. Clebsch montra que le genre d'une courbe est un invariant lors de transformations birationnelles.

Passé maître dans la manipulation difficile des formes et déterminants rencontrés en théorie des invariants, Clebsch compléta, à la suite d'Aronhold, le calcul symbolique sur les formes et invariants. Il publia, en 1872, un livre sur la théorie des invariants binaires.

En 1863 avait commencé sa riche collaboration avec Paul Gordan, qui culmina, en 1866, dans la publication d'un ouvrage sur la théorie des fonctions abéliennes. Non content d'avoir appliqué les résultats de Riemann à la théorie des courbes, Clebsch tenta maintenant avec Gordan de fonder la théorie des fonctions abéliennes sur la théorie[...]