SÉRIES ET PRODUITS INFINIS
Séries multiples
La théorie des familles sommables s'applique notamment aux séries multiples. Étant donné un espace de Banach E, un entier naturel non nul r et une partie infinie I de Zr, on appelle série r-uple d'éléments de E indexée par I tout couple A = ((ut), (sJ)) constitué d'une suite r-uple d'éléments de E et d'une famille (sJ) d'éléments de E, où J parcourt l'ensemble des parties finies de I, telles que :
la suite (ut), t ∈ I, s'appelle terme général de la série A.
On dit qu'une telle série est absolument convergente si la famille (ut), t ∈ I, est absolument sommable. La somme :
s'appelle alors comme la série A.
Prenons, par exemple, I = Zr − {0}, I+ = Nr − {0}, α un nombre réel non nul et, pour tout élément t = (n1, n2, ..., nr) de I, posons :
les séries r-uples de termes généraux (ut), t ∈ I, et (ut), t ∈ I+, convergent si et seulement si α > r. Plus généralement, pour toute norme sur l'espace vectoriel Rr, les séries r-uples de termes généraux :
convergent si et seulement si α > r.
Soit maintenant A une série double de terme général (un,p), où (n, p) parcourt N2. Si cette série est convergente, alors, pour tout entier naturel n, la série de terme général (un,p), p ∈ N, est convergente, et la série de terme général (vn) avec :
est convergente. De plus :
dite formule de sommation par lignes des séries doubles. On peut énoncer de même une formule de sommation par colonnes. Les réciproques sont vraies si A est une série de nombres réels positifs.
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Écrit par
- Lucien CHAMBADAL : ancien élève de l'École normale supérieure, agrégé de l'Université, professeur au lycée Buffon, Paris
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