SÉRIES ET PRODUITS INFINIS
Produits infinis
Soit G un groupe commutatif topologique séparé. Lorsque la loi de G est notée multiplicativement, les séries et les familles sommables d'éléments de G prennent respectivement les noms de produits infinis et de familles multipliables.
Cependant, lorsque le groupe G est le groupe multiplicatif d'un corps commutatif topologique séparé K, une suite d'éléments de G ne converge au sens de G que si elle converge vers un élément non nul de K. Cette remarque conduit à modifier légèrement les définitions.
On appelle produit infini d'éléments de K un couple A = ((un), (pn)) constitué de deux suites d'éléments de K telles que, pour tout entier naturel n, on ait :
l'élément pn s'appelle produit à l'ordre n de A, et la suite (un) s'appelle terme général de A.
On dit que le produit infini A est convergent dans K si un est non nul à partir d'un certain rang n0 et si le produit infini de terme général (un), n ≥ n0, est convergent dans G = K*. Il est immédiat que le terme général d'un produit infini convergeant dans K converge vers 1.
On dit de même qu'une famille (ui), i ∈ I, d'éléments de K est multipliable dans K si le support I0 de cette famille, c'est-à-dire l'ensemble des indices i tels que ui ≠ 0, est le complémentaire d'une partie finie de I et si la famille (ui), i ∈ I0, est multipliable dans K*.
Les produits infinis ayant leurs principales applications dans la théorie des fonctions analytiques, nous nous plaçons désormais dans le cas du corps des nombres complexes.
Le critère de Cauchy devient ici : Pour que le produit infini A converge, il faut et il suffit que, pour tout voisinage V de 1, il existe un entier naturel n0 tel que, pour tout couple (q, r) d'entiers naturels tel que r > q ≥ n0, on ait :
L'étude des produits infinis de nombres complexes se ramène à celle des séries : Soit (un) une suite de nombres complexes non réels négatifs ; pour que le produit infini de terme général (un) soit convergent (resp. commutativement convergent), il faut et il suffit que la série de terme général (ln un) soit convergente (resp. commutativement convergente). Soit (vn) une suite de nombres complexes ; pour que le produit infini de terme général (1 + vn) soit commutativement convergent, il faut et il suffit que la série de terme général (vn) soit absolument convergente.Comme le terme général d'un produit infini convergent (un) tend vers 1, on pose un = 1 + vn, où vn → 0. Lorsque (un) est une suite de nombres réels positifs, la convergence du produit infini de terme général un équivaut à celle de la série de terme général vn, par passage au logarithme, car ln(1 + x) ∼ x au voisinage de 0.
On est alors amené à définir la convergence absolue d'un produit infini de terme général un par la convergence absolue de la série de terme général vn. Tout produit absolument convergent est convergent.
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Écrit par
- Lucien CHAMBADAL : ancien élève de l'École normale supérieure, agrégé de l'Université, professeur au lycée Buffon, Paris
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