SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
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Aperçu historique
Quoique certaines sommes de séries trigonométriques aient déjà été calculées par L. Euler (cf. analyse harmonique), on peut considérer que l'histoire des séries trigonométriques remonte à la solution, donnée par D. Bernoulli, du problème des cordes vibrantes. Le problème est de calculer le mouvement d'une corde, de longueur l, fixée en ses extrémités, et qui est soit écartée de sa position d'équilibre et lâchée (corde de guitare), soit frappée de façon à lui imprimer, en ses différents points, des vitesses de déplacement latéral (corde de piano).
L'équation des cordes vibrantes, qui concerne le déplacement latéral y(x, t ) (supposé petit) au temps t du point x de la corde, est :
![](/media_src/v20f0928a01.png)
![](/media_src/v20f0928a02.png)
![](/media_src/v20f0928a03.png)
![](/media_src/v20f0928a04.png)
![](/media_src/v20f0928a05.png)
![](/media_src/v20f0928a06.png)
![](/media_src/v20f0928a07.png)
Mais cela supposait, par exemple dans le premier cas, que l'on puisse écrire ϕ(x) sous la forme :
![](/media_src/v20f0928a08.png)
Comment une fonction ϕ (x) arbitraire pourrait-elle se résoudre en une somme de fonctions sinus d'arcs multiples ? Les meilleurs mathématiciens de l'époque (1750) ne le croyaient pas possible.
La question ne fut reprise que cinquante ans plus tard, par Fourier, à l'occasion de la théorie analytique de la chaleur (1822). L'équation en cause est ici :
![](/media_src/v20f0928a09.png)
![](/media_src/v20f0928b01.png)
![](/media_src/v20f0928b02.png)
De nouveau, on est amené à tenter d'écrire une fonction donnée sous forme d'une série trigonométrique. Fourier donne une série d'exemples, fondés sur des formules du type (8). Il conclut, un peu rapidement, que les séries trigonométriques obtenues sont convergentes, qu'elles ont bien pour somme les fonctions données et qu'ainsi sont levées les objections faites à D. Bernoulli.
Il n'en est rien. Mais une bonne part de l'analyse mathématique allait sortir de cette intuition de Fourier.
L'étape décisive est l'admirable mémoire de 1829 où P. G. Lejeune-Dirichlet donne le premier théorème de convergence de séries de Fourier. Après avoir établi, pour une fonction f monotone et continue entre 0 et h, la formule :
![](/media_src/v20f0928b03.png)
Dirichlet montre que, pour toute fonction f monotone et continue par morceaux sur le tore T, les sommes partielles SN(t ) de la série de Fourier de f convergent, en tout point t, vers :
![](/media_src/v20f0928b04.png)
![](/media_src/v20f0928b05.png)
![](/media_src/v20f0928b06.png)
Dans la dernière intégrale (10), DN joue le rôle d'un noyau de convolution. On l'appelle, naturellement, le noyau de Dirichlet.
L'intérêt du travail de Dirichlet n'est pas seulement dans le résultat, ni dans la méthode – qui est fort belle. On peut considérer que le concept moderne de fonction remonte à ce mémoire. Auparavant, une fonction était donnée soit par une expression analytique, soit par une représentation graphique. Au contraire, pour Dirichlet, la fonction n'est qu'une loi qui à chaque valeur x de la variable fait correspondre f (x). Pour expliquer, par exemple, que les intégrales (8) n'ont de sens que pour certaines fonctions, Dirichlet considère une fonction ϕ égale à a pour x rationnel et à b pour x irrationnel, a étant différent de b. Avec le[...]
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Écrit par
- Jean-Pierre KAHANE : professeur à l'université de Paris-Sud.
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Autres références
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CANTOR GEORG (1845-1918)
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HARMONIQUE ANALYSE
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- Écrit par Jacques MEYER
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Mathématicien belge, né à Louvain et mort à Bruxelles. Charles J. de La Vallée-Poussin enseigna à l'université de Louvain de 1891 jusqu'à sa retraite. Il fut membre de l'Académie belge (1909), membre associé étranger de l'Académie des sciences (1945), membre honoraire de la London Mathematical...
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Voir aussi
- CORDES VIBRANTES
- BERNOULLI DANIEL (1700-1782)
- CONVERGENCE, mathématiques
- FOURIER SÉRIE DE
- RIEMANN INTÉGRALE DE
- ESPACES Lp
- FOURIER COEFFICIENTS DE
- INTÉGRABLES ESPACES DE FONCTIONS
- SÉRIES LACUNAIRES
- ENSEMBLES D'UNICITÉ
- FEJÉR LEOPOLD (1880-1959)
- PARSEVAL FORMULE DE
- ALÉATOIRE VARIABLE
- SOMMATION, mathématiques
- FOURIER RAPIDE TRANSFORMÉE DE ou FTP (Fast Fourier Transform)