SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES

La convergence des séries de Fourier

Dirichlet avait établi que la convergence des séries de Fourier avait lieu pour des fonctions monotones et continues par morceaux, Du Bois-Reymond qu'elle n'avait pas nécessairement lieu pour des fonctions continues. Le théorème de Fischer-Riesz établit, quant à lui, que les sommes partielles de la série de Fourier d'une fonction f ∈ L² tendent vers f dans l'espace L².

Jusqu'en 1966, on n'a pas su si la série de Fourier d'une fonction continue sur T converge nécessairement sur un ensemble non vide. À cette date, L. Carleson a montré que, pour toute f ∈ L², la série de Fourier de f converge vers f (t ) presque partout. La réponse à la question posée est donc positive. C'est le meilleur résultat possible, dans ce sens que, étant donné un ensemble de mesure nulle sur T, il existe une fonction continue dont la série de Fourier diverge sur cet ensemble.

Le théorème de Carleson vaut en remplaçant L² par L^p, avec p > 1 (R. Hunt, 1967). Il ne vaut pas pour L¹, puisque, dès 1926, on connaissait des fonctions de L¹ dont la série de Fourier diverge partout (A. N. Kolmogorov).

Essentiellement, pour les séries de Fourier à une variable, le problème de la convergence se trouve résolu avec les travaux de Carleson et Hunt.

Pour les séries de Fourier à plusieurs variables du type (6), avec k ≥ 2, il faut définir ce qu'on appelle les sommes partielles avant de poser le problème de la convergence. Si l'on prend les sommes partielles « cubiques », définies comme la somme des termes pour lesquels :

La convergence des séries trigonométriques

La convergence des séries trigonométriques est une question toute différente de la précédente : on considère ici des séries dont les coefficients ne sont pas nécessairement donnés par les formules de Fourier. Le problème est le suivant : Une fonction f étant donnée, existe-t-il une série trigonométrique qui converge presque partout vers f ? On peut supposer f à valeurs finies ou infinies, mais on doit la supposer mesurable au sens de Lebesgue.

C'est un sujet étudié, depuis 1916, par D. Menchov et l'école russe. Menchov a d'abord étudié le cas f ≡ 0. Dans ce cas, le problème a évidemment une solution (la série à coefficients tous nuls), mais Menchov montre qu'elle n'est pas unique. Dans le cas où f a des valeurs finies, le problème a une solution positive. Le cas général est encore mystérieux. En particulier, on ne sait pas s'il existe une série trigonométrique dont les sommes partielles tendent vers + ∞ presque partout ; la réponse est vraisemblablement négative.

Si, au lieu de la convergence, on étudie la sommabilité d'Abel-Poisson, on obtient des résultats plus complets (N. Lusin et I. Privalov en 1925, F. Bagemihl et W. Seidel en 1954, J.-P. Kahane et aussi Y. Katznelson en 1971) : Étant donné deux fonctions f et g mesurables, à valeurs finies ou infinies, il existe une série trigonométrique (1) à coefficients tendant vers 0, qui est sommable vers f et dont la conjuguée :

Les ensembles d'unicité

Le problème remonte à Cantor. Quels sont les ensembles E sur la droite tels que, si une série trigonométrique (1) converge vers 0 en tout point n'appartenant pas à E, tous ses coefficients soient nuls ? On les appellera ensembles d'unicité. Tous[...]