SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

Espaces de jets et théorèmes de transversalité de Thom

Cette impossibilité de définir intrinsèquement des dérivées d'ordre supérieur autrement qu'à travers une inflation de fibrés tangents de tangents de tangents... a conduit C. Ehresman à introduire, dans les années cinquante, la notion de jet d' application, fondamentale dans le sujet qui nous occupe : la remarque de base est que, si la dérivée k-ième de f en a ∈ N ne peut pas être définie en général comme forme k-linéaire sur T_aN, la propriété pour deux fonctions f et g de coïncider au point a jusqu'à l'ordre k (c'est-à-dire d'avoir en a les mêmes dérivées jusqu'à l'ordre k) dans une carte locale est indépendante du choix de la carte locale. On dit alors que f et g ont même jet d'ordre k en a ; la classe d'équivalence ainsi définie est appelée jet d'ordre k (ou k-jet) de f au point a, et notée j^kf (a). L'ensemble des k-jets au point a de fonctions C^∞ sur N est noté Jka(N, R) ; la réunion disjointe des Jka(N, R), lorsque a parcourt N, est notée J^k(N, R). Si N = Rⁿ, l'application qui à j^kf (a) associe le couple du point a et du polynôme de Taylor de la fonction X ↦ f (a + X) à l'ordre k en 0 (vérifier l'indépendance du choix du représentant f ) identifie canoniquement J^k(Rⁿ, R) au produit de Rⁿ par l'ensemble P^k(n) des polynômes à n variables de degré inférieur ou égal à k, ce qui munit J^k(Rⁿ, R) d'une topologie. Par exemple J^k(R, R) ≃ R^k+1, J²(R², R) ≃ R⁷, ... On peut en déduire une topologie sur J^k(N, R) qui en fait une variété C^∞, fibrée sur N de fibre J^k₀(Rⁿ, R) ≃ P^k(n) (cf. Les espaces fibrés, chapitre 4 de topologie - Topologie algébrique).

L'application J^kf : N → J^k(N, R) qui à x associe j^kf (x) est alors C^∞. Par le choix d'une carte locale de N, cette application devient :

Soit Q la sous-variété de J¹(N, R) formée des jets z de la forme z = j¹f (x), Df (x) = 0 (cette condition ne dépend que de z). Une fonction f de Morse sur N n'est autre qu'une fonction telle que l'application j¹f soit en tout point transverse à Q, ce qui explique le caractère intrinsèque de la définition locale du chapitre précédent. Énonçons maintenant, dans le cadre qui nous intéresse, le premier théorème de transversalité de Thom, qui implique immédiatement le théorème de densité des fonctions de Morse énoncé à la fin du chapitre précédent.

Théorème de densité. Si N est une variété compacte, Q une sous-variété fermée de J^k(N, R), l'ensemble des f ∈ C^∞(N, R) tels que j^kf soit en tout point transverse à Q est un ouvert dense.

Il est important de remarquer qu'on ne considère pas dans ce théorème toutes les applications de N dans J^k(N, R), mais seulement celles qui sont « intégrables », c'est-à-dire de la forme j^kg, avec g ∈ C^∞(N, R) ; la démonstration est une généralisation de celle que nous avons faite à propos des points singuliers de Morse.