SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

Points singuliers de détermination finie et fonctions T.S.F.

Nous avons vu dans le premier chapitre que, au voisinage d'un point régulier, une fonction C^∞ est caractérisée, à changement de coordonnées locales près, par son jet d'ordre 1 en ce point ; nous étudions maintenant les points singuliers ayant une propriété analogue vis-à-vis du jet à un ordre fini. Nous retrouverons en particulier le lemme de Morse, à la base de si nombreux développements en topologie différentielle.

L'importance de cette question vient de ce que, contrairement à une fonction C^∞ quelconque, une fonction polynomiale est susceptible d'une étude géométrique très précise.

Les résultats étant purement locaux, il est commode d'utiliser le langage des germes : deux applications f et g d'une variété N dans une variété P définissent le même germe en a ∈ N si elles coïncident sur un voisinage de a.

Si P = R^p, l'ensemble C^∞a (N, R^p) des classes d'équivalence hérite de la structure d'anneau de C^∞(N, R^p) et est appelé l'anneau des germes en a d'applications C^∞ de N dans R^p. Notons en particulier E_n = C^∞₀ (Rⁿ, R) et désignons par L_n ⊂ C^∞₀ (Rⁿ, Rⁿ) le groupe des germes en 0 d'applications ϕ : Rⁿ → Rⁿ vérifiant ϕ(0) = 0, avec Dϕ(0) inversible ; la formule ϕ ( f = f ∘ ϕ⁻¹ définit une action de L_n sur E_n.

L'application f ↦ j^kf (0) de Rⁿ dans J^k₀(Rⁿ, R) se factorise en une application de E_n dans J^k₀(R_n, R), encore notée de la même façon (nous confondrons d'ailleurs dans une même notation une fonction et son germe s'il n'y a pas d'ambiguïté sur le point considéré). E_n est un anneau local dont l'unique idéal maximal est l'ensemble M_n des germes de fonctions nulles en 0. La formule de Taylor montre que M_n n'est autre que l'idéal engendré par x₁, ..., x_n. Si f ∈ E_n, on note J(f ) l'idéal de E_n engendré par :

Théorème. Soit f, g ∈ E_n ; si g − f ∈ M_nJ(f )², il existe ϕ ∈ L_n tel que g ∘ ϕ = f. Autrement dit, à changement de coordonnées local près au voisinage de 0, g ne diffère pas de f dès que g − f est « assez petit » dans le sens ci-dessus.

La démonstration est d'un type assez fréquent en théorie des singularités : on considère la « famille à 1 paramètre » de germes f_t = f + t (g − f ), t ∈ [0, 1], joignant f à g, et on cherche ϕ_t ∈ L_n tel que ϕ₀ = identité, f_t∘ ϕ_t = f pour tout t ∈ [0, 1] ; en dérivant par rapport à t et en remarquant que l'hypothèse implique J(f_t) = J(f ), on obtient ϕ_t en intégrant une équation différentielle ordinaire (ce qui ne nous éloigne pas tellement du théorème des fonctions implicites).

Remarquant que 0 est un point singulier non dégénéré si et seulement si J(f ) = M_n, on déduit de cette proposition le lemme de Morse, c'est-à-dire l'existence d'un changement de coordonnées local au voisinage d'un point singulier non dégénéré (ici 0) transformant f en son polynôme de Taylor en ce point tronqué à l'ordre 2 ; on exprime encore cela en disant que le germe de f en un point singulier non dégénéré est déterminé par son jet d'ordre 2. On remarque que ce lemme est valable sur une variété et on le comparera à l'énoncé analogue du chapitre 1 dans le cas d'un point régulier. Ce lemme permet une compréhension totale de la géométrie des hypersurfaces[...]