SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

Codimension d'une fonction

Nous allons interpréter ce qui précède en termes de l'action sur C^∞(N, R) du groupe G = Diff N × Diff R, produit du groupe des difféomorphismes C^∞ de N par le groupe des difféomorphismes C^∞ de R (changements de coordonnées C^∞ à la source et au but). Ce chapitre 5, sans démonstration, est destiné à rendre plus intuitives les définitions qui seront données au chapitre suivant dans le cadre des germes.

Soit f ∈ C^∞(N, R) ; nous dirons que f est stable s'il existe un voisinage U de f dans C^∞(N, R) tel que, pour tout g ∈ U, il existe un difféomorphisme ϕ de N proche de l'identité et un difféomorphisme ψ de R proche de l'identité (et même, si l'on veut, égal à l'identité en dehors d'un voisinage du compact f (N)) tels que g = ψ ∘ f ∘ ϕ ⁻¹. Autrement dit, f est stable si l' orbite locale de f sous l'action du groupe G est ouverte.

Le problème de la stabilité est facile à résoudre dans le cas d'une action α : G × M → M de classe C^∞ d'un groupe de Lie G sur une variété de dimension finie M : il suit, en effet, du théorème du rang constant (qui découle du théorème des fonctions implicites) que les orbites sont des sous-variétés (images d'immersions injectives). Une condition nécessaire et suffisante de stabilité de m ∈ M est donc la surjectivité de la dérivée en l'élément neutre e de G de l'application A : G → M définie par A(γ) = α(γ, m).

Dans le cas où il n'y a pas stabilité, notons Σ_m ⊂ G le stabilisateur de m et choisissons une sous-variété S de M contenant m dont l'espace tangent en m soit un supplémentaire de l'espace tangent en m à l'orbite G ( m de m. La dimension c(m) de S, qui n'est autre que la codimension de l'image de DA(e), est appelée la codimension de m. La restriction à G × S de α a une dérivée en (e, m) de rang maximum (submersion), et elle se factorise au voisinage de (e, m) à travers un difféomorphisme d'un voisinage de (e, m) dans (G/Σ_m) × S sur un voisinage U de m dans M.

On en déduit l'existence d'une application C^∞ de U dans S × G, p ↦ (λ(p), γ(p)) telle que λ(p) = p, γ(p) = Id pour tout p dans S ∩ U, p = α(γ(p), λ(p)) pour tout p dans U. L'étude des orbites au voisinage de m se ramène donc à celle de leur trace sur S. En particulier, toute famille à k paramètres d'éléments de U (c'est-à-dire une application ϕ : R^k → U de classe C^∞) s'obtient par action d'une famille à k paramètres d'éléments de G à partir d'une telle famille dans S ( pour le cas où k = 1). Le cas où ϕ est près d'un paramétrage σ : R^c(m) → U de S au voisinage de m est particulièrement intéressant : on obtient un résultat de stabilité sur la famille σ, la famille ϕ n'en différant pas modulo l'action du groupe après changement de paramétrage.

Dans le problème qui nous occupe, M est remplacé par C^∞(N, R), m par une fonction f et G par Diff N × Diff R. L'espace vectoriel topologique C^∞(N, R) est métrique complet (espace de Fréchet) ; le rôle de l'espace tangent en l'identité à G est tenu par Γ(N) × Γ(R) (en désignant par Γ(V) l'ensemble des champs de vecteurs C^∞ sur V) ; l'application α est ici α((ϕ, ψ), f ) = ψ ∘ f ∘ ϕ⁻¹ et la dérivée en e = (Identité, Identité) de A est l'application DA(e) : Γ(N) × Γ(R) → C^∞(N, R) définie, après identification du fibré tangent TR à R × R, par :

Si N = Rⁿ, on peut identifier ξ à une application (ξ₁, ..., ξ_n) de Rⁿ dans Rⁿ, η à une application de R dans R, et on a :

On appelle encore codimention de f la codimension[...]