- 1. Points réguliers
- 2. Points singuliers non dégénérés
- 3. Espaces de jets et théorèmes de transversalité de Thom
- 4. Points singuliers de détermination finie et fonctions T.S.F.
- 5. Codimension d'une fonction
- 6. Déformation universelle d'un germe de fonction de détermination finie
- 7. Stratification de C∞(N, R) − Σ et familles « génériques » de fonctions
- 8. Classification des germes de petite codimension μ
- 9. Lien avec la théorie des déformations des germes d'hypersurfaces analytiques et l'équisingularité
- 10. Le cas des applications
- 11. Quelques problèmes globaux
- 12. Bibliographie
SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications
Article modifié le
Classification des germes de petite codimension μ
Appelons stablement équivalents deux germes f ∈ En, g ∈ Eq tels que f (x1, ..., xn) et g(x1, ..., xq) + Q(xq+1, ..., xn) soient dans la même orbite de Ln, où Q est un germe de Morse (qu'on peut donc supposer être une forme quadratique non dégénérée). Les théories de déformation de f et g sont analogues car En/J(f ) ≃ Eq/J(g). Soit maintenant f ∈ Mn un germe singulier tel que le rang de la matrice :
![](/media_src/v21f0044c01.png)
![](/media_src/v21f0044c02.png)
En cherchant par quel jet les germes sont déterminés, on arrive facilement à la classification de René Thom (on a supposé f (0) = 0) :
μ = 0 germe régulier,
μ = 1 germe de Morse,
μ = 2 germe stablement équivalent à x31 (pli),
μ = 3 germe stablement équivalent à ± x41 (fronce ou cusp),
μ = 4 germe stablement équivalent à x51 (queue d'aronde)
ou à x31 − 3x1x22 (ombilic elliptique)
ou à x31 + x32 (ombilic hyperbolique),
μ = 5 germe stablement équivalent à ± x61 (papillon)
ou à x21x2 + x42 (ombilic parabolique).
La déformation universelle de xn a déjà été écrite ; des déformations universelles des ombilics sont, par exemple, les suivantes :
ombilic elliptique :
![](/media_src/v21f0045a01.png)
![](/media_src/v21f0045a02.png)
![](/media_src/v21f0045a03.png)
Remarquons que tous ces germes sont représentés par des polynômes quasi homogènes ; en particulier f ∈ J(f ) : une conséquence de cela est l'identité, pour les germes ayant un μ petit, entre la théorie des déformations que nous avons considérée (changement de coordonnées à la source seulement) et la théorie dans laquelle on se permet aussi des changements de coordonnées au but ; en effet, on déduit de l'expression de DA(e) donnée au chapitre 5 que, dans cette dernière, J(f ) doit être remplacé par l'espace vectoriel :
![](/media_src/v21f0045b01.png)
Nous pouvons donc utiliser les formules qui précèdent pour décrire la géométrie de la stratification de C∞(N, R) − Σ par les orbites de Diff N × Diff R au voisinage d'une fonction f̄ dont toutes les valeurs critiques sont distinctes et dont tous les points singuliers sauf un sont de Morse, l'unique point singulier dégénéré ayant une codimension μ ≤ 5. On part d'un des déploiements universels donnés ci-dessus dans lequel on a supprimé le terme constant λ0 :
![](/media_src/v21f0045b02.png)
Dans ce déploiement universel, U est un voisinage ouvert de 0 dans Rn, n = 1 ou 2, et où S est un voisinage ouvert de 0 dans Rμ−1. Soit :
![](/media_src/v21f0045c01.png)
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Écrit par
- Alain CHENCINER : professeur à l'université de Paris-VII
Classification
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