LIE SOPHUS (1842-1899)

À la fin du xix^e siècle, le mathématicien norvégien Marius Sophus Lie a posé les fondements d'une des théories les plus centrales des mathématiques contemporaines, la théorie des groupes de Lie, dont la puissance s'est révélée considérable, et qui est au cœur d'innombrables recherches contemporaines. En physique relativiste, cette théorie est un outil qui intervient constamment et, en mathématiques pures, elle a été et reste un sujet privilégié, carrefour toujours vivant de l'analyse, de l'algèbre et de la géométrie.

L'œuvre de Lie

La vocation mathématique de Sophus Lie, né à Nordfjordeid en 1842, ne se révéla qu'assez tard, à la lecture en 1865 des travaux de Julius Plücker sur les complexes de droites. Sa rencontre à Berlin avec le jeune Félix Klein (1849-1925), en 1869, allait être le début d'une longue et fructueuse amitié. Les deux mathématiciens viennent à Paris et découvrent les travaux de Galois et de Jordan qui allaient profondément les influencer ; ils travaillent ensemble sur la théorie des invariants en analyse et en géométrie différentielle, et c'est de cette époque, d'après son propre témoignage, que datent les premières idées de Lie sur les groupes de transformations. Dans un mémoire de 1870, écrit en commun, Lie et Klein étudient systématiquement les sous-groupes à un paramètre du groupe projectif du plan et les orbites de ces sous-groupes, les « courbes W » et retrouvent ainsi, dans le cadre de la théorie des groupes, de nombreuses propriétés des courbes classiques (y = cx^m, spirale logarithmique, etc.).

À la déclaration de guerre entre la France et la Prusse, Klein repart en Allemagne tandis que Lie part (à pied !) pour l'Italie. Arrêté par erreur comme espion allemand, il restera une semaine en prison à Fontainebleau jusqu'à l'intervention du mathématicien Gaston Darboux qui dissipera cette méprise.

En 1872, Lie soutient sa thèse de doctorat à l'université de Christiania ; c'est à cette époque qu'il édifie sa théorie des transformations de contact qui généralisent à la fois les transformations géométriques ponctuelles et la transformation par polaires réciproques. Il restera professeur à Christiania jusqu'en 1886. Dès 1873, il commence à élaborer la « grande » théorie des groupes de Lie.

De 1886 à 1898, Lie occupe la chaire de Klein à Leipzig, et c'est alors qu'il rédige, en collaboration avec Ernst Engel, les théorèmes fondamentaux de sa théorie ; nommé professeur extraordinaire à Christiania, il y meurt en 1899 quelques mois après son retour.

Avant d'aborder les résultats de la théorie des groupes « continus » qui constituent la partie centrale de l'œuvre de Lie, disons un mot de son application au « problème de l'espace » qui a eu une grande importance historique et valut à son auteur, en 1898, le prix Lobatchevski décerné par l'université de Kazan à des recherches sur la géométrie, de préférence non euclidienne. Dans sa Dissertation inaugurale, Bernhard Riemann avait abordé ce problème analytiquement, de manière abstraite, en introduisant les notions de « multiplicité numérique » et de métrique, qui allaient conduire ultérieurement à toute la théorie des variétés riemanniennes ; pour sa part, Hermann von Helmholtz avait analysé le concept de géométrie en termes de « groupes de mouvement ». Sophus Lie donne, dans le cadre de la théorie des groupes, des propriétés caractéristiques permettant de définir « une » géométrie sur une multiplicité numérique et montre que, pour n ≥ 3, ces propriétés s'expriment uniquement par des conditions infinitésimales. Henri Poincaré, qui a repris ce problème, analyse en ces termes l'œuvre de Lie : « Il a cherché de quelle manière peuvent se combiner les divers mouvements possibles d'un[...]