LIE SOPHUS (1842-1899)

La théorie des groupes de Lie

Sous le nom de «  groupes finis et continus », Lie étudie des groupes de transformations analytiques sur l'espace Cⁿ des n variables complexes x₁, ..., x_n,

dépendant « effectivement » de r paramètres complexes a₁, ..., a_r. Par la suite, il étudiera aussi, sous le nom de groupes infinis et continus, certains ensembles de transformations dépendant d'une infinité de paramètres (qui, en fait, ne sont pas des groupes). L'étude de Lie repose essentiellement sur la linéarisation qui introduit ce qu'on appelle l'algèbre de Lie du groupe. Si l'on obtient la transformation identique de l'espace Cⁿ pour un choix a⁰₁, ..., a⁰_r, la formule de Taylor au premier ordre :introduit la transformation infiniment petite :

k = 1par intégration du système différentiel :

on obtient alors le groupe à un paramètre :que Lie montre être un sous-groupe du groupe initial.

La méthode infinitésimale de Lie consiste en l'étude des opérateurs différentiels linéaires :

qu'il appelle transformations infinitésimales et dont l'ensemble forme, pour le crochet, l'algèbre de Lie du groupe ; un habile usage de la formule de Taylor au second ordre lui permet d'obtenir l'expression fondamentale donnant le crochet de deux telles transformations infinitésimales (cf. groupes - Groupes de Lie). Tout ce qui précède fait le lien entre la théorie des groupes continus ainsi obtenue et les transformations de contact et la théorie des équations aux dérivées partielles.

À partir de 1874, Lie développe systématiquement la méthode infinitésimale et élabore un véritable « dictionnaire » de correspondances entre les propriétés du groupe et les propriétés de l'algèbre de Lie ; il dégage clairement le caractère local de l'algèbre de Lie dont la donnée permet seulement, en général, d'obtenir un « morceau » de groupe de transformation et établit ainsi les résultats du tableau de correspondances donné dans l'article groupes - Groupes de Lie, chap. 5.

Selon Nicolas Bourbaki, voici les trois principaux théorèmes obtenus par Lie.

Le premier théorème affirme que, sous l'hypothèse que les paramètres sont « effectifs », les fonctions f_i de (1) vérifient une équation aux dérivées partielles :

où la matrice (ξ_ki) est de rang maximal et det (Ψ_ij) ≠ 0. Réciproquement, si les fonctions f_i ont cette propriété, les formules (1) définissent un morceau de groupe de transformations. Le deuxième et le troisième théorème établissent les relations algébriques entre les ξ_ki, d'une part, et les Ψ_ij, d'autre part ; réciproquement, si l'on se donne r transformations infinitésimales linéairement indépendantes X₁, X₂, ..., X_r dans l'algèbre de Lie, avec :où les c^k_ij satisfont aux relations algébriques :les sous-groupes à un paramètre engendrés par ces transformations engendrent un groupe de transformations dont l'algèbre de Lie est engendrée par X₁, ..., X_n.