STABILITÉ
Mouvement stationnaire
Soit encore un solide (S) à point fixé Os = Og = O, dont on désigne par Oxs, Oys, Ozs les axes principaux d'inertie en O (les moments d'inertie respectifs sont : A, A, C) et dont le centre d'inertie G, situé sur Ozs, est défini par OG − lzs. Supposons ce solide soumis uniquement aux efforts de pesanteur et à des efforts de liaison de moment en O négligeable. Dans ces conditions, les trois intégrales premières suivantes peuvent être écrites (Ψ, θ, ϕ étant les angles d'Euler usuels) :
Mais, d'une part, l'égalité stricte écrite ci-dessus et qui relie les constantes de l'appareil (m, l, C, A), l'accélération g due à la pesanteur et les valeurs initiales θ0, ϕ′0 et Ψ′0, ainsi que la condition rigoureuse θ′0 = 0, n'ont aucune chance d'être vérifiées exactement ; et il existera toujours (quel que soit le soin expérimental apporté) une différence entre la valeur de mgl et celle du second membre ; cela impose l'étude de la stabilité de ce mouvement stationnaire. D'autre part, l'expérience de la rotation stationnaire possible d'une toupie, rotation impossible d'un crayon autour de sa pointe, nous montre que cette étude n'est pas sans objet et que la stabilité est sûrement conditionnée par une ou plusieurs inégalités entre les constantes de l'appareil et les valeurs initiales ; en particulier, ϕ′0 doit être assez grand.
Un tel état de fait amène à distinguer les valeurs initiales (q0, q′0) effectivement réalisées des valeurs (qe, q′e) strictement exigées par les conditions d'équilibre (q′e = 0) ou de mouvement stationnaire. Par exemple, dans ce qui précède :
Citons une importante propriété. Quel que soit α > 0, on peut lui associer η > 0 tel que les inégalités :
On exprime cette propriété en disant que le mouvement stationnaire (théorique) défini par (θe, Ψ′e, ϕ′e) est stable. L'instabilité consiste dans la négation de cette propriété.
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Écrit par
- Michel CAZIN : professeur au Conservatoire national des arts et métiers
Classification
Médias
Demi-ellipse limite
Encyclopædia Universalis France
Centre d'inertie d'un solide
Encyclopædia Universalis France
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