STABILITÉ
Exemple issu de la dynamique des systèmes (équilibre)
Centre d'inertie d'un solide
Encyclopædia Universalis France
Soit un solide (S1) en mouvement rotoïde d'axe Oz (horizontal) par rapport au galiléen : le centre d'inertie G1 de ce solide est défini par OG1 = a1x1. Un point A lié à (S1) est défini par OA = ax1, avec a > a1 ; en ce point passe Az qui est l'axe d'un rotoïde entre un deuxième solide (S2) et le solide (S1). L'axe Ax2 est lié à (S2) : sur cet axe, un point B lié à (S2) est défini par AB = lx2, et le centre d'inertie G2 de (S2) est défini par AG2 = − bx2, avec b > 0. L'axe Oy est la verticale ascendante de O, le point B est assujetti à rester dans le plan Oyz. Toutes les liaisons mises en jeu développent une puissance négligeable. Étudier la stabilité de l'équilibre dans lequel l'angle θ = (Ox, OA) prend la valeur π/2 et dans lequel l'angle (y, x2) = β prend la valeur nulle est un problème qui a été résolu de manière plus simple (cf. dynamique, chap. 9 et le théorème de Lejeune-Dirichlet, infra, chap. 4).
Les angles θ et β ne sont pas indépendants, mais ils ont entre eux la relation :
De plus, on a :
Par suite, la puissance développée par les torseurs de pesanteur est :
Pour le voisinage de la position étudiée (θ = π/2, β = 0), on peut écrire :
Pour ε = 0, la fonction U prend la valeur :
Le théorème de Lejeune-Dirichlet permet d'affirmer que si U est maximum pour ε = 0 (c'est-à-dire θ = π/2), alors l'équilibre de l'ensemble est stable, c'est-à-dire que, quel que soit α > 0, on peut lui associer η > 0 tel que les inégalités :
Dans les conditions précédentes, ω est une variable d'homogénéité ayant la dimension physique d'une vitesse angulaire de manière que η soit un nombre pur. Cette intervention est toujours possible et, dans la discussion de la stabilité, quand on écrit q et sa dérivée q′ par rapport au temps, on suppose que, par suite d'intervention implicite de variables d'homogénéité, q et q′ sont dénués de dimension physique.
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Écrit par
- Michel CAZIN : professeur au Conservatoire national des arts et métiers
Classification
Médias
Demi-ellipse limite
Encyclopædia Universalis France
Centre d'inertie d'un solide
Encyclopædia Universalis France
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