STOCHASTIQUES PROCESSUS ou PROCESSUS ALÉATOIRES

Le calcul des probabilités classique s'applique à des épreuves où chaque résultat possible (ou éventualité) est un nombre. Or il existe beaucoup de situations réelles relevant de modèles aléatoires, mais d'une nature plus complexe. Considérons, par exemple, l'évolution d'une rivière : en raison du caractère périodique du phénomène, on peut l'étudier au cours d'une année, et, dans ce cas, une épreuve consiste à observer les débits au cours d'une année entière. Un événement élémentaire (une éventualité) est alors une fonction t ↦ x qui, au temps t, compté en année et variant de 0 à 1, associe le débit x(t ) à la date t.

Comme autres exemples citons : le développement d'une population (évolution de l'effectif de la population en fonction du temps) ; la propagation d'une épidémie ; l'évolution de la demande d'un bien par une clientèle ; la variation du nombre de clients présents à un poste de service, etc. Ainsi, en physique, en biologie, dans les sciences humaines et même en musique, on est conduit fréquemment à s'intéresser à des évolutions d'une grandeur au cours du temps où le « hasard » intervient à chaque instant. La réalisation de l'épreuve est une fonction du temps. Le modèle mathématique est une fonction aléatoire, mais dont l'argument est le temps, d'où la définition donnée au chapitre 1. L'étude des épreuves répétées en calcul des probabilités avait conduit P. S. Laplace, J. Bernoulli et A. de Moivre à considérer des suites aléatoires additives et stationnaires, c'est-à-dire telles que les différences (X_n+1 − X_n) soient mutuellement indépendantes et parentes. Seuls S. D.  Poisson et P. L. Tchebychev s'étaient intéressés à des suites non stationnaires. Suivant une autre voie, F. Galton et H. W. Watson, en étudiant l'extinction des familles, introduisent, en 1874, les processus dits de ramifications (où X_n+1 est la somme de X_n variables aléatoires entières indépendantes et parentes) ; puis A. A.  Markov étudie, de 1907 à 1912, des « cas remarquables d'épreuves dépendantes ».

Ainsi, au xx^e siècle, la théorie s'est progressivement édifiée à propos de problèmes très variés, allant de la physique théorique à l'organisation des entreprises. Les premières bases théoriques ont été posées par A. N.  Kolmogorov en 1931 ; J. L. Doob a publié, en 1953, un traité fondamental sur l'ensemble de la question : Stochastic Processes.

Définition générale

On appelle processus stochastique ou processus aléatoire toute famille de variables aléatoires X_t. Cela signifie qu'à tout t ∈ T est associée une variable aléatoire prenant ses valeurs dans un ensemble numérique E. On note le processus X_t. Si T est dénombrable, on dit que le processus est discret ; si T est un intervalle, on dit que le processus est permanent.

La définition effective d'un processus stochastique soulève de sérieuses difficultés tant théoriques que pratiques. On pourrait définir un processus en se référant au schéma général de Kolmogorov (cf. calcul des probabilités, chap. 2) et considérer un ensemble Ω de fonctions possibles, puis une tribu B de parties de Ω, et enfin définir une probabilité (fonction positive et σ-additive d'ensembles) sur B. Ce point de vue très abstrait (cf. J. L. Doob, Stochastic Processes, chap. ii) se prête mal aux applications, car on ne peut effectivement probabiliser que des ensembles numériques (ou ceux qui leur sont isomorphes). Une définition constructive est la seule qui se prête aux applications. Ajoutons que, si un processus stochastique est une fonction aléatoire, son argument est le temps, au déroulement irréversible et inéluctable, ce qui influe fortement sur la nature des problèmes pratiques posés : essentiellement[...]