STOCHASTIQUES PROCESSUS ou PROCESSUS ALÉATOIRES

Processus ponctuels

Un processus ponctuel concerne les instants où se réalisent des événements instantanés d'une classe particulière : par exemple, les débuts de pannes d'un ensemble de machines, les instants d'arrivée d'un mobile à un système de contrôle, les instants de naissance d'une particule ou d'un individu d'une population. Une réalisation d'un tel processus est décrite par la donnée d'une suite croissante d'instants t₁, t₂ ..., (ceux où se réalise le phénomène) ou par une suite de points P₁, P₂,... sur l'échelle des temps, avec OP_n = t_n, d'où la dénomination de processus ponctuel.

On peut associer à un tel processus un processus numérique X_t, où X représente le nombre d'événements obtenus sur [0, t ]. La fonction aléatoire X_t est un cas particulier de processus numérique : elle croît par sauts de une unité en des instants aléatoires (discontinuités mobiles). Toutefois, l'origine particulière de ce type de processus conduit à le définir de manière mieux adaptée aux besoins.

Définition par nombres d'événements sur un ensemble d'intervalles disjoints. Soit k intervalles disjoints ]t_i ′, t_i ″], avec i = 1, 2, ..., k, et soit N_i le nombre d'événements obtenus sur ]t_i ′, t_i ″], c'est-à-dire N_i = X_ti″ − X_ti′. On donne, pour tout k et pour tout ensemble {t_i ′, t_i ″}_i, la loi jointe de {N₁, N₂, ..., N_k}.

Définition par intervalles successifs. Posons U₁ = t₁ et U_n = t_n − t_n−1 = P_n−1P_n. On donne la suite des lois conditionnelles des U_n connaissant U₁, U₂, ..., U_n−1 pour tout n entier positif.

Il convient, à propos des processus ponctuels, de reprendre les remarques sur le caractère trop général de ce modèle. En vue des applications, on doit tout d'abord considérer une famille convenable de processus ponctuels, puis estimer le ou les paramètres du modèle retenu pour le ou les appliquer à un exemple particulier.

Le processus ponctuel de Poisson est le cas le plus simple et le plus important. On l'obtient en posant les axiomes suivants.

Axiome d'indépendance : Pour tout k, quels que soient t ′ ₁, t₁ ″, ..., t ′ _k, t_k ″, les variables aléatoires N₁, N₂, ..., N_k sont indépendantes dans leur ensemble.

Axiome d'uniformité : La loi du nombre d'événements obtenus sur ]t, t + h]est indépendante de t. On suppose, de plus, que la probabilité d'obtenir plusieurs événements au même instant est nulle et, enfin, que la probabilité p(h) de n'obtenir aucun événement sur ]t, t + h]est strictement positive et strictement inférieure à 1 pour tout h > 0.

Dans ces conditions, les nombres N_i (indépendants) obéissent à des lois de Poisson : le paramètre est c(t_i ″ − t_i ′) pour N_i ; de plus, les intervalles successifs {U_i}_i sont indépendants en probabilité et obéissent tous à la même loi dite γ₁, ou exponentielle, d'expression élémentaire :

Ce modèle peut être obtenu à partir d'un processus ponctuel discret. Supposons qu'un événement puisse se produire en chacun des instants 0,1/n, 2/n, ..., éléments de l'ensemble N(1/n), avec la même probabilité p = c/n, et que les résultats (réalisation ou non de l'événement à un instant) soient indépendants en probabilité. On obtient un processus ponctuel discret qui obéit aux axiomes précédents, mais avec ici t ∈ N(1/n). Si n tend vers l'infini, on obtient à la limite un processus ponctuel permanent : c'est le processus de Poisson de densité c.

En raison de l'axiome d'indépendance, le processus de Poisson a des propriétés très simples fort appréciées des utilisateurs. Ce modèle représente remarquablement la radioactivité naturelle (suite des enregistrements d'un compteur de Geiger-Müller) et certains phénomènes analogues d'émissions[...]