STOCHASTIQUES PROCESSUS ou PROCESSUS ALÉATOIRES

Processus à accroissements aléatoires indépendants

Soit X_t un processus numérique et t₁, t₂, ..., t_k une suite croissante d'instants. Soit :

Le processus est dit à accroissements aléatoires indépendants si, pour tout k et tous t₁, t₂, ..., t_k, les variables aléatoires :

sont indépendantes en probabilité. La marche au hasard sur une droite fut le premier exemple étudié de ce type de processus.

Marche au hasard

Un mobile se déplace sur un axe Ox par pas d'une unité chaque fois dans l'un ou l'autre sens avec des probabilités égales. S'il fait un pas par unité de temps en partant de 0 à l'instant t = 0, il est à l'instant n en un point P_n tel que :

où les U_i sont des variables aléatoires indépendantes et parentes, chacune prenant les valeurs + 1 ou − 1 avec des probabilités égales. Le processus X_t, défini pour t ∈ N, est à accroissements indépendants.

Ce modèle se généralise, d'une part, par la promenade au hasard sur un réseau d'un espace euclidien à n dimensions ; à chaque étape, le mobile se déplace de une unité dans l'un des 2 n sens possibles avec des probabilités égales (cf. calcul des probabilités, chap. 11). Il se généralise, d'autre part, en supposant que les accroissements indépendants et parents U_i obéissent à une loi quelconque.

Le processus X_n obtenu peut représenter la fortune d'un joueur qui renouvelle des paris successifs. La fonction U_i est alors le gain net et aléatoire d'un coup. Le processus X_n peut aussi représenter l'évolution de la situation financière d'une compagnie d'assurance.

Toute fonction X_t obtenue ici varie par sauts d'amplitude aléatoire, mais en des instants déterminés et connus d'avance t = 1, 2, ..., n, ...

On obtient des modèles beaucoup plus originaux en supposant que X_t varie soit d'une manière continue, soit par sauts en des instants aléatoires. Deux cas particuliers très importants illustrent ces deux généralisations : le processus de Poisson et celui de Wiener-Lévy.

Fonction indicatrice d'un processus de Poisson

Soit X_t le nombre de points obtenus sur [0, t ]dans un processus ponctuel de Poisson de densité c. La fonction X_t croît par sauts de une unité en des points aléatoires (processus ponctuel de Poisson) ; c'est un processus à accroissements indépendants, et l'accroissement U_i sur l'intervalle[t, t_i]obéit à la loi de Poisson de paramètre c(t_i − t_i₋₁). On obtient un modèle plus général en supposant que, sur tout intervalle ]t′, t″], l'accroissement de X_t obéit à une loi de Poisson dont le paramètre est une fonction g(t′, t″). Ici g est une fonction positive et additive d'intervalles : c'est une mesure ; elle est définie par sa fonction de distribution :

et l'on a :

Le processus ponctuel des points de discontinuité de X_t est dit processus de Poisson non uniforme.

Processus de Wiener-Lévy ou fonction du mouvement brownien linéaire

Supposons qu'une particule puisse se déplacer sur un axe Ox. À chaque instant, elle reçoit une légère impulsion dans l'un ou l'autre sens avec des probabilités égales. Pour atteindre un schéma continu, on doit procéder par passage à la limite d'une suite de processus discrets. Entre les dates t et t + 1/n, la particule subit un déplacement aléatoire qui prend la valeur 1/√ n avec la probabilité 1/2 et − 1/√ n avec la probabilité 1/2. La fonction caractéristique de cet accroissement est cos t/√ n, et, par suite, pendant la durée h, la somme des accroissements (indépendants) a pour fonction caractéristique (cos t/√ n)^hn. Si le nombre n tend vers l'infini, la loi limite de l'accroissement a pour fonction caractéristique exp (− t²h/2) : c'est la loi de Laplace-Gauss centrée de variance h. Tel[...]

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Écrit par

Maurice GIRAULT : professeur à l'université de Paris-I.

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