STOCHASTIQUES PROCESSUS ou PROCESSUS ALÉATOIRES

Processus laplaciens

On appelle un ensemble de variables aléatoires {X₁, X₂, ..., X_n} ensemble laplacien si, et seulement si, toute forme linéaire de ces variables, c'est-à-dire toute variable aléatoire Z = Σa_iX_i, obéit à une loi de Laplace-Gauss. Dans ces conditions, chaque variable aléatoire X_i obéit à une loi de Laplace-Gauss ; soit m_i = E(X_i) sa valeur moyenne.

La loi jointe de l'ensemble {X_i} est de la forme :

où Y est le vecteur colonne de composantes {(x_i − m_i)} et Y′ le transposé ; H est la matrice n × n des variances et covariances :

La loi de l'ensemble est donc complètement définie par la donnée des moments du premier et du second ordre de l'ensemble des variables.

On dit qu'un processus X_t est un processus laplacien si pour tout k, quels que soient t₁, t₂, ..., t_k, l'ensemble aléatoire correspondant {X₁, X₂, ..., X_k} est un ensemble laplacien.

La loi temporelle du processus est définie par deux fonctions certaines du temps, la valeur moyenne :

et la fonction de covariance :

Toute forme linéaire à coefficients constants de X_t est une variable aléatoire laplacienne (ou normale). L'ensemble de ces formes est un espace vectoriel qu'on peut munir d'un produit intérieur (espérance du produit) : on obtient alors un espace préhilbertien. On peut l'orthogonaliser selon le procédé de Schmidt (cf. théorie spectrale) ; des variables laplaciennes orthogonales sont indépendantes. On peut aussi représenter tout ensemble de valeurs Y₁, Y₂, ... à partir de variables indépendantes laplaciennes U₁, U₂, ... selon un développement du type suivant, dit développement canonique de Paul Lévy.

Processus stationnaires

Si, quels que soient t et t′, le nombre Γ(t + h, t′ + h) est indépendant de h, on dit que le processus est stationnaire ; la fonction de covariance ne dépend plus alors que d'une seule variable h = t − t′. On pose :

Toute fonction γ(θ) ainsi obtenue est de type non négatif, et S. Bochner a montré, en 1932, que, si γ(θ) est continue à l'origine, elle est continue partout, et il existe une fonction à valeurs réelles A(ω) monotone croissante et à variation bornée telle que :

la fonction A(ω) est dite fonction de distribution spectrale du processus X_t.

Tout processus laplacien stationnaire centré X_t peut être obtenu par superposition (ou somme) de processus du type suivant :

où a et ω sont des constantes réelles et U et V des variables de Laplace-Gauss centrées réduites indépendantes. Un tel processus Z_t est un processus laplacien stationnaire ; sa fonction de covariance est a² cos ωθ.

Processus stationnaire du second ordre et analyse harmonique

Soit Z_t un processus à valeurs complexes, soit E(Z_t) = m(t ) et posons X_t = Z_t − m(t ). Le processus est dit stationnaire du second ordre si m(t ) et E(X_t_+θX̄_t) sont des fonctions définies indépendantes de t ; la fonction :

est dite fonction de covariance. On suppose, enfin, que la partie réelle de γ(θ) est continue à l'origine, ce qui équivaut à supposer que X_t est continue en moyenne quadratique. Les premiers travaux sur cette classe importante de processus sont dus à N. Wiener (1930). A. Khintchine (1934), R. Fortet et A. Blanc-Lapierre (1953). Les fonctions γ(θ) introduites ici sont, à un multiplicateur positif près, des fonctions caractéristiques. Ainsi à toute fonction γ(θ) est associée une fonction A(ω) à valeurs réelles, monotone croissante et à variation bornée telle que :

la fonction A(ω) est dite fonction de distribution spectrale.

Composition de processus orthogonaux par superposition

Soit U_t et V_t deux processus centrés du second ordre. Ils sont dits orthogonaux si, quels que soient t et t′, on a E(U_tV̄_t_′) = 0 ; soit g₁(θ) et g₂(θ) les fonctions de covariances de ces processus. Formons :

où c₁ et c₂ sont des constantes complexes. Alors X_t est[...]

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Écrit par

Maurice GIRAULT : professeur à l'université de Paris-I.

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