STRUCTURALISME, mathématique

Question de Paul Benacerraf sur la nature des nombres

Paul Benacerraf, dans un article de 1965 devenu central en philosophie des mathématiques, « What number could not be » (in Philosophical Review, vol. 74, n^o 1, pp. 47-73), remarque que les nombres entiers sont souvent définis aujourd'hui par une construction à partir de l'ensemble vide et que deux méthodes au moins sont possibles pour cela : entiers de Von Neumann (0 = Ø ; 1 = {Ø} ; 2 = {Ø,{Ø}}, ..., n + 1 = n ∪ {n}) ; entiers définis par emboîtements simples (0 = Ø, 1 = {Ø}, 2 = {{Ø}}, ... n + 1 = {n}). Pour les nombres réels, on se trouve dans une situation équivalente, puisque diverses constructions concurrentes en ont été proposées au cours du xix^e siècle. Malgré ces définitions présentées dans les textes mathématiques avec le plus grand sérieux, il n'est pas vrai que l'on y décrive vraiment ce que sont les nombres, en livrant par leur décomposition ensembliste le secret d'une nature qui aurait échappé aux mathématiciens avant son élucidation récente. Pour un mathématicien, la nature profonde d'un objet mathématique se définit par les rapports qu'il entretient avec d'autres au sein d'une totalité – que l'on peut appeler structure. Cette nature ne se fonde pas sur les montages ensemblistes ou autres qu'on en donne, car ceux-ci ne sont que des artifices adoptés dans le cadre de présentations formelles particulières, et au sujet desquels aucun accord n'est requis ou attendu entre mathématiciens.