STRUCTURALISME, mathématique

Réalisme structuraliste et structuralisme modal

Si les objets mathématiques existent, ils existent d'une façon collective, structurale. Un réalisme ensembliste naïf qui affirmerait « l'ensemble vide existe, et le nombre entier 0 est identique à l'ensemble vide, etc. » n'est pas défendable, pas plus qu'un réalisme numérique qui affirmerait « les entiers existent et les nombres rationnels sont des classes d'équivalence de nombres entiers ». Cette mise en demeure, exprimée par l'article de Benacerraf, de ne pas prendre à la lettre les constructions que les mathématiciens proposent par commodité et sans avoir l'illusion de dévoiler la nature ultime des objets mathématiques, a été le point de départ d'une série de positions qualifiées de structuralistes en philosophie des mathématiques. Ces positions sont éliminativistes (elles éliminent de l'ontologie des mathématiques la référence à des objets ayant une identité fixe et accessible) et traitent la connaissance mathématique en termes de relations, de modèles, de schémas, en un mot de structures.

S'ils s'accordent entre eux sur le bien-fondé de la question de Benacerraf et sur l'idée que la solution se trouve dans la notion de structure (conçue d'une manière non technique et donc sans lien direct avec la notion proposée dans le traité de Bourbaki ou celle de la théorie des catégories), les structuralistes divergent cependant sur le statut ontologique qu'il faut accorder en définitive aux structures. Certains, comme Michael D. Resnik et Stewart Shapiro, proposent ce qu'on peut interpréter comme une reformulation structuraliste du réalisme mathématique (on parle même à leur sujet de « platonisme structuraliste »). D'autres, en particulier Geoffrey Hellman, tentent de rester en retrait par rapport à ces positions ontologiquement trop engagées ; combinant un langage basé sur la logique modale et l'idée que les structures sont au cœur des mathématiques contemporaines, ils proposent un structuralisme modal dont l'idée est que le mathématicien raisonne comme si les structures existaient et tire les conséquences qu'entraînent de telles hypothèses, cela sans avoir besoin de croire pleinement à l'existence des structures comme objets indépendants.