POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

Faisant référence à la mécanique analytique et à ses anciens maîtres Joseph Louis Lagrange (1736-1813) et Pierre Simon de Laplace (1749-1827), Siméon Denis Poisson (1781-1840) écrit, dans l'introduction de son mémoire au Journal de l'École polytechnique de 1809 : « Il ne semblait pas que cette importante théorie pût encore être perfectionnée, lorsque les deux géomètres qui ont le plus contribué à la rendre complète en ont fait de nouveau le sujet de leurs méditations... » Il annonce ainsi qu'il va présenter l'amélioration suivante de la théorie : il considère les expressions (1)

, où a et b sont des fonctions des q_i, les positions, et des quantités conjuguées pour un système mécanique de Lagrangien R. Il prouve alors que, si a et b sont des intégrales premières du système, c'est aussi le cas de (a, b). Aujourd'hui (a, b) est appelé le crochet de Poisson (cf. mécanique analytique) de a et b et plutôt noté {a, b}. Alors que ce crochet n'était au départ qu'une technique pour les calculs de mécanique, il a pris de plus en plus d'importance dans différentes branches des mathématiques et de la physique mathématique.

En modernisant très légèrement le langage de S. D. Poisson, on voit que son crochet est bien défini sur les « espaces de phase » T^∗Q, les espaces cotangents des « espaces de configuration » Q. L'introduction de la notion de variété symplectique dans les années 1950-1960 donne un cadre bien plus général où un crochet analogue peut se définir. Ce crochet donne à l'espace des fonctions définies sur ces variétés une structure d'algèbre de Lie ; il vérifie aussi l'identité de Leibniz que nous présenterons dans le chapitre 2 (Géométrie de Poisson). En 1977, André Lichnerowicz (1915-1998) a proposé la définition la plus générale pour les crochets de Poisson sur une variété quelconque : ce sont les opérations binaires sur l'espace des fonctions qui vérifient ces deux propriétés. Sous cette forme on voit que les crochets de Poisson mettent dans un même cadre des objets mathématiques aussi divers que les variétés symplectiques et les algèbres de Lie de dimension finie. C'est l'article fondateur « The Local Structure of Poisson manifolds » (1983) d'Alan Weinstein qui a mis en évidence l'intérêt de l'étude géométrique de ces notions.

Des crochets de Poisson très utiles sont apparus dans toutes sortes de situations : singularités de fonctions, groupes de Lie, groupes quantiques, espaces de modules, algébroïdes, systèmes intégrables, quantification... Une des consécrations de l'intérêt de cette notion est que l'on a une correspondance (à peu près bijective) entre les crochets de Poisson et les déformations associatives du produit usuel des fonctions (sur une variété différentiable donnée).

Différentes généralisations du crochet de Poisson sont apparues ; certaines incluent, par exemple, les structures de contact. Les structures de Nambu, développées depuis les années 1990 à partir d'une tentative d'extension de la mécanique hamiltonienne, sont des crochets de plus de deux fonctions. Elles s'avèrent utiles au moins pour l'étude des feuilletages à singularités.

Vers la géométrie symplectique

Dans le formalisme de la mécanique lagrangienne (cf. mécanique analytique), les solutions des systèmes mécaniques classiques sont données par les équations de Lagrange (2)

, où la fonction L (le « lagrangien ») est fonction des variables q₁, ..., q_n qui déterminent la position du système, des variables q̇₁, ..., q̇_n qui sont les vitesses et, éventuellement, du temps t ; i varie de 1 à n. Généralement L est de la forme T – U, où T est l'énergie cinétique qui dépend quadratiquement des variables q̇_i et U l'énergie potentielle qui est indépendante[...]