POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

Structures de Poisson spéciales

Un groupe de Lie-Poisson est un groupe de Lie G (on le prendra ici connexe et simplement connexe) muni d'une structure de Poisson Π telle que l'application produit (x, y) ↦ xy de (G, Π)×(G, Π) dans (G, Π) soit un morphisme de Poisson. Une telle structure de Poisson est forcément nulle à l'élément neutre e de G. De plus, elle est complètement déterminée par sa partie linéaire Π⁽¹⁾ en ce point. Au vu de l'exemple 4 du chapitre 2 (Géométrie de Poisson), se donner Π⁽¹⁾ revient à se donner une structure d'algèbre de Lie [ , ]^∗ sur le dual G^∗ de l'algèbre de Lie G de G. On a de plus une relation de compatibilité entre [ , ]^∗ et la structure de Lie usuelle [ , ] sur G, que l'on peut écrire en disant que l'opération binaire, définie sur G×G^∗ par (34) [[(x, α), (y, β)]] = ([x, y] + ad_α(y) – ad_β(x), [α, β]^∗ + ad_x(β) – ad_y(α)), où ad désigne l'une ou l'autre des action coadjointes associées à [ , ]^∗ et [ , ], est une structure d'algèbre de Lie.

Munie de [[ , ]], G×G^∗ est ce que l'on appelle une « bigèbre de Manin ». Ainsi, se donner un groupe de Lie-Poisson revient à se donner une telle bigèbre de Manin. Ces objets, à la structure algébrique très riche, sont fondamentaux dans la théorie des groupes quantiques (cf. Vladimir Gershonovitch drinfeld).

Une structure de Poisson sur un espace vectoriel est dite quadratique si le crochet de deux fonctions linéaires est toujours une fonction quadratique. En théorie des groupes de Lie-Poisson on rencontre souvent, de manière assez détournée, des structures de Poisson quadratiques.

Deux structures de Poisson Π₀ et Π₁ sur une même variété sont dites compatibles si, pour tout réel t, le 2-vecteur Π_t ≔ Π₀ + t(Π₁ – Π₀) est un tenseur de Poisson. Soit alors X un champ de vecteurs hamiltonien pour Π₀ et qui préserve Π₁(L_XΠ₁ = 0). Dans de nombreux cas on sait exhiber beaucoup d'intégrales premières de X : par exemple, les valeurs propres de l'opérateur J tel que Π₁(α, β) = Π₀(J(α), β) si Π₀ est symplectique. On a ainsi des méthodes pour trouver des systèmes intégrables (cf. systèmes dynamiques différentiables). Réciproquement, pour la plupart des systèmes hamiltoniens intégrables classiques, on sait construire, non seulement la structure symplectique sous-jacente, mais aussi une deuxième structure de Poisson, compatible avec cette dernière, et qui soit invariante par le système.