POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

Mécanique de Nambu

Dans un article de 1973, le physicien théoricien Yoichiro Nambu propose l'étude des systèmes d'équations différentielles (35)

, pour i = 1, ¼, n, où l’on travaille sur l’espace ℝ³ⁿ muni des coordonnées (p₁, q₁, r₁, ..., p_n, q_n, r_n), H et F étant des fonctions de ces variables ; le symbole désigne le déterminant . On peut voir ces équations de Nambu comme l'analogue des équations de Hamilton (3) lorsque l'on remplace les couples de variables conjuguées (p_i, q_i) par des triplets de variables (p_i, q_i, r_i).

La mécanique du solide dont le centre de gravité est fixé (le solide « d'Euler ») peut être vue comme relevant des équations de Nambu : si l'on note (p, q, r) les composantes du moment angulaire dans le repère attaché au solide, le mouvement est déterminé par les équations (36)

, avec H = ½(p²/I₁ + q²/I₂ + r²/I₃) et F = ½(p² + q² + r²).

Après Nambu, plusieurs mathématiciens ont essayé de donner un caractère intrinsèque aux équations (35). Les équations (3) acquérant le leur dans le formalisme symplectique, on a, en particulier, essayé d'introduire une 3-forme ω de façon que le champ de vecteur X donné par les équations (35) soit donné par une équation du type

[par analogie avec (8)]. Cette voie ne fonctionne qu'en dimension 3. Cela dit, si l'on cherche quels sont les changements de variables (37) qui transforment le système (35) en un système analogue (avec H' = H ∘ φ^–1 à la place de H et F' = F ∘ φ^–1 à la place de F), on obtient le jeu d'équations (38) , où φ_k parcourt les composantes de φ (dans le premier membre elle est considérée comme fonction, dans le second comme variable). Lorsque l'on prend H = φ_l et F = φ_m, cela donne un système d'équations (39) , où le symbole désigne le jacobien de la fonction de composantes f, g et h par rapport aux variables x, y et z (on fixe les éventuelles autres variables). Or (38) se récrit exactement sous la forme (40) φ_∗Λ₀ = Λ₀ en notant Λ₀ le 3-vecteur .

Dit autrement, les changements qui préservent les équations de Nambu sont ceux qui préservent Λ₀. Ainsi, si les équations de Nambu ont un caractère intrinsèque, il en est de même de ce 3-vecteur. Notons maintenant X_H,F le champ de vecteurs sur ℝ³ⁿ donné par les équations (35). On peut récrire ces équations sous la forme (41) X_H,F = i_dF(i_dHλ₀) ou, ce qui revient au même, (42) X_H,F(G) = λ₀(dH, dF,  dG), pour toute fonction G.

Donc, s'il existe une formulation intrinsèque des équations de Nambu, elle ne peut être que du type suivant. On se donne une variété V munie d'un 3-vecteur Λ, vérifiant des conditions pour qu'il existe, au voisinage de tout point, des coordonnées (p₁, q₁, r₁, ..., p_n, q_n, r_n) dans lesquelles on ait (43)

. Soit alors deux fonctions H et F définies sur V ; le champ de Nambu associé à ces deux fonctions sera le champ X_H,F défini par (44) X_H,F = i_dF(i_dHλ). On peut alors définir le « crochet » de trois fonctions F, G et H par la formule (45) {F, G, H} = λ(dF, dG, dH), et l'on a (46) X_H,F(G) = {H, F, G}. Par définition, le crochet {F, G, H} est trilinéaire et antisymétrique en les fonctions F, G et H. Il vérifie aussi la propriété (47) {F, G, HK} = {F, G, K}H + {F, G, H}K, pour toutes fonctions F, G, H et K ; on l'appelle « relation de Leibniz ». Notons l'analogie avec le formalisme de Poisson, lorsque l'on remplace le crochet de trois fonctions par un crochet de deux fonctions.

Une des propriétés essentielles des champs hamiltoniens sur une variété de Poisson est qu'ils préservent la structure de Poisson : cela se traduit concrètement par l'identité de Jacobi que l'on peut récrire sous la forme (48)[[...]