POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

Les structures de Nambu d'après Tahktajan

Définition. Soient q un entier supérieur ou égal à 2 et M une variété différentiable. Une structure de Nambu d'ordre q sur M est une application ℝ-multilinéaire et alternée (51) C^∞(M)^q → C^∞(M), (f₁, ..., f_q) ↦ {f₁, ..., f_q} sur l'espace C^∞(M) des fonctions de classe C^∞ de M dans ℝ, qui vérifie l'identité de Leibniz (52) {f₁, ..., f_q–1, g₁g₂} = {f₁, ..., f_q–1, g₁}g₂ + g₁{f₁, ..., f_q–1, g₂} et l'identité fondamentale (53)

pour tous f_i, g_i appartenant à C^∞(M).

La fonction {f₁, ..., f_q} est appelée crochet de Nambu des fonctions f₁, ..., f_q, et une variété munie d'une telle structure de Nambu est dite variété de Nambu.

Dans le cas q = 2, l'identité fondamentale n'est rien d'autre que celle de Jacobi et on retrouve la définition des structures de Poisson. Beaucoup de propriétés fondamentales des structures de Poisson passent aux structures de Nambu avec q > 2, en particulier l'identité de Leibniz nous permet d'affirmer l'existence d'un q-vecteur Λ avec (54) {f₁, ..., f_q} = Λ( df₁, ..., df_q) pour tout q-uplet de fonctions (f₁, ..., f_q).

Comme annoncé dans le chapitre précédent, l'identité fondamentale a le corollaire étonnant suivant.

Théorème. Soit m un point quelconque d'une variété de Nambu d'ordre q > 2 où le tenseur associé Λ n'est pas nul. Il existe un système (x₁, ..., x_n) de coordonnées locales sur un voisinage de m tel que l'on ait (55)

.

Ce théorème montre, en particulier, que les structures de Nambu d'ordre strictement plus grand que 2 ont une structure locale bien plus simple que les structures de Poisson : ou bien le tenseur Λ associé s'annule ou bien il a la forme locale très régulière (54). Cela dit, la description précise du comportement au voisinage des points où le tenseur est nul est difficile. Malgré tout, comme pour les structures de Poisson au voisinage des points où le tenseur associé est nul, on a quelques résultats concernant le problème de « linéarisation » (où l'on cherche des coordonnées locales dans lesquelles les composantes de Λ sont des fonctions linéaires).

Il y a aussi un analogue du feuilletage symplectique des variétés de Poisson : les feuilles sont encore formées des points que l'on peut atteindre à partir d'un point donné en suivant des trajectoires de champs hamiltoniens. Le théorème précédent implique que, pour q > 2, ces feuilles sont de deux types : ou bien ce sont des sous-variétés de dimension q, ou bien elles se réduisent à un unique point (point où Λ est nul).

Issues de considérations de physique théorique, ces structures de Nambu jouent un rôle intéressant en mathématique. C'est en particulier en étudiant leurs modèles locaux que l'on a découvert des résultats nouveaux concernant les 1-formes intégrables (c'est-à-dire les 1-formes α vérifiant

) analytiques sur ℂⁿ avec n > 2. On a ainsi mis en évidence le fait que si une telle forme s'annule en un point, mais avec une partie linéaire non nulle, alors elle est localement de la forme α = φ^∗(β), où β est une 1-forme sur ℂ² et φ est une application analytique de ℂⁿ dans ℂ² : en un sens, cela ramène l'étude locale de ces 1-formes à celles de dimension 2. L'idée la plus prometteuse est cependant le lien qui relie les feuilletages à singularités les plus généraux et ces structures de Nambu. En général un feuilletage à singularités donne un feuilletage régulier sur un ouvert dense Ω de la variété sur laquelle il est défini : c'est l'ouvert formé des feuilles de dimension maximale. On construit un nouveau feuilletage à singularités en gardant les feuilles de dimension maximales (celles de Ω) et en décidant que la feuille de chaque point du[...]