POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

Appendice

Pour les notions de base concernant les variétés différentiables, nous renvoyons à l'article variétés différentiables. Si x est un point de la variété différentiable M, on note T_xM l'espace des vecteurs tangents à M au point x.

Un fibré vectoriel de rang p sur la variété M est la donnée d'une variété différentiable E et d'une application différentiable π : E → M tels que l'on ait un atlas (U_i, φ_i)_i ∈ J de M et un atlas correspondant (π^–1(U_i), Φ_i)_i ∈ J tels que Φ_i(π^–1(U_i)) = φ_i(U_i)×ℝ^p, les expressions locales de π soient les projections évidentes (x, y) ∈ φ_i(U_i)×ℝ^p ↦ x ∈ φ_i(U_i), et que les changements de cartes sur E correspondants aux changements ψ_ij = φ_i ∘ φ_i^-1 soient de la forme (x, y) ↦ (ψ_ij(x), γ_ij(x)(y)), de façon que, pour tout x, les fonctions y ↦ γ_ij(x)(y) soient linéaires.

Alors chaque « fibre » E_x ≔ π^–1(x) hérite d'une structure d'espace vectoriel de dimension p et E est leur réunion disjointe :

Le fibré tangent

Si π : E → M et π' : F → M sont deux fibrés vectoriels sur M, toute application différentiable φ : E → F qui préserve les fibres et est linéaire en restriction à chaque fibre [φ(E_x) ⊂ F_x et φ_|Ex : E_x → F_x est linéaire] est appelée un morphisme de fibrés.

Si E est un fibré vectoriel sur M, alors il est facile de voir que

Une « section » du fibré vectoriel E (sur M) est une application différentiable s : M → E telle que π ∘ s = Id_M. Une telle section associe à tout point x de M un point s(x) de la fibre E_x de façon différentiable. Ainsi un champ de vecteurs sur M est une section de TM, une 1-forme différentiable sur M est une section de T^∗M, une q-forme (différentiable) est une section de ⁁^qT^∗M et un « q-vecteur » de M est une section de ⁁^qTM, pour q > 1.

On note C^∞(M) l'ensemble des applications indéfiniment différentiables sur M. À tout champ de vecteurs X sur M on associe l'application L_X : C^∞(M) → C^∞(M) qui, à toute fonction f, associe L_Xf ≔ X (f) [en coordonnées, c'est

En généralisant ce résultat on prouve que, chaque fois que l'on a une fonction q-multi-ℝ-linéaire alternée F : (C^∞(M))^q → C^∞(M) vérifiant l'identité de Jacobi (57) F(f₁, ..., f_q–1, gh) = F(f₁, ..., f_q–1, g)h + gF(f₁, ..., f_q–1, h) pour toutes fonctions f₁, ..., f_q–1, g, h, alors il existe un q-vecteur Λ sur M avec (58) F(f₁, ..., f_q) = Λ( df₁, ..., dfq). Remarquons bien que, comme une q-forme s'applique à un q-uplet de vecteurs, un q-vecteur s'applique à un q-uplet de formes.

Écritures locales

Dans une carte locale de M munie des coordonnées (x₁, ..., x_n), les q-vecteurs s'écrivent sous la forme (59)

, où les coefficients A_{i1, ..., ip} sont des fonctions (locales) différentiables, et on a (60)

, où

désigne le jacobien de (x_I1, ..., x_iq) ↦ (f₁, ..., f_q).

Crochets de Schouten

Si X et Y sont deux champs de vecteurs sur la variété M, qui ont des écritures locales

et

, alors leur crochet de Lie[X, Y]a une écriture locale (61)

. On note

et on les considère comme de nouvelles variables. Alors on écrit

et

, et[X, Y]s'écrit formellement comme (62)

.

De façon plus générale, on écrit le q-vecteur (63)

sous la forme (64)

et on le considère formellement comme un polynôme homogène de degré q dans les variables ζ_i. Cela dit, on doit considérer que les variables ne commutent pas entre elles ; en fait on considère que les x_i commutent entre elles et avec les ζ_j mais que l'on a : (65) ζ_iζ_j = – ζ_jζ_i. On adopte la règle formelle de dérivation (66)

, ce qui revient à (67)

, où le « chapeau » sur ζ_ik signifie que l'on doit l'oublier dans le produit (1 ≤ k ≤ q).

Si

est a-vecteur et

est b-vecteur, alors, généralisant la formule (61), on définit le crochet de Schouten de A et B comme suit : (68)

.

C'est un exercice classique de voir que ce crochet, a priori défini de façon non intrinsèque (à l'aide de coordonnées), est en fait un (a+b–1)-vecteur intrinsèquement défini dès que A et B le sont. De plus, si X est un champ de vecteurs c'est un 1-vecteur et, pour tout q-vecteur A, le crochet de Schouten[X, A]est la dérivée de Lie de A par rapport à X.