POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

Appendice

Pour les notions de base concernant les variétés différentiables, nous renvoyons à l'article variétés différentiables. Si x est un point de la variété différentiable M, on note T_xM l'espace des vecteurs tangents à M au point x.

Un fibré vectoriel de rang p sur la variété M est la donnée d'une variété différentiable E et d'une application différentiable π : E → M tels que l'on ait un atlas (U_i, φ_i)_i ∈ J de M et un atlas correspondant (π^–1(U_i), Φ_i)_i ∈ J tels que Φ_i(π^–1(U_i)) = φ_i(U_i)×ℝ^p, les expressions locales de π soient les projections évidentes (x, y) ∈ φ_i(U_i)×ℝ^p ↦ x ∈ φ_i(U_i), et que les changements de cartes sur E correspondants aux changements ψ_ij = φ_i ∘ φ_i^-1 soient de la forme (x, y) ↦ (ψ_ij(x), γ_ij(x)(y)), de façon que, pour tout x, les fonctions y ↦ γ_ij(x)(y) soient linéaires.

Alors chaque « fibre » E_x ≔ π^–1(x) hérite d'une structure d'espace vectoriel de dimension p et E est leur réunion disjointe :

. Ainsi un fibré vectoriel de rang p doit être vu comme une réunion disjointe d'espaces vectoriels de dimension p paramétrés par M, le tout muni d'une bonne structure de variété.

Le fibré tangent

est l'exemple basique de fibré vectoriel (de rang égal à la dimension de M) sur M.

Si π : E → M et π' : F → M sont deux fibrés vectoriels sur M, toute application différentiable φ : E → F qui préserve les fibres et est linéaire en restriction à chaque fibre [φ(E_x) ⊂ F_x et φ_|Ex : E_x → F_x est linéaire] est appelée un morphisme de fibrés.

Si E est un fibré vectoriel sur M, alors il est facile de voir que

et peuvent être munis, de façon naturelle, de structures de fibrés vectoriels sur M, pour tout entier q. Ainsi T^∗M ≔ TM^∗ est le « fibré cotangent » à M, c'est le fibré des 1-formes sur M. De son côté ⁁^qTM est le fibré des « q-vecteurs » sur M et ⁁^qT^∗M est celui des q-formes.

Une « section » du fibré vectoriel E (sur M) est une application différentiable s : M → E telle que π ∘ s = Id_M. Une telle section associe à tout point x de M un point s(x) de la fibre E_x de façon différentiable. Ainsi un champ de vecteurs sur M est une section de TM, une 1-forme différentiable sur M est une section de T^∗M, une q-forme (différentiable) est une section de ⁁^qT^∗M et un « q-vecteur » de M est une section de ⁁^qTM, pour q > 1.

On note C^∞(M) l'ensemble des applications indéfiniment différentiables sur M. À tout champ de vecteurs X sur M on associe l'application L_X : C^∞(M) → C^∞(M) qui, à toute fonction f, associe L_Xf ≔ X (f) [en coordonnées, c'est

]. Ce genre d'application est caractérisé par le fait qu'elle est ℝ-linéaire et qu'elle vérifie l'identité de Jacobi (56) L_X(fg) = (L_Xg)f + gL_Xf.

En généralisant ce résultat on prouve que, chaque fois que l'on a une fonction q-multi-ℝ-linéaire alternée F : (C^∞(M))^q → C^∞(M) vérifiant l'identité de Jacobi (57) F(f₁, ..., f_q–1, gh) = F(f₁, ..., f_q–1, g)h + gF(f₁, ..., f_q–1, h) pour toutes fonctions f₁, ..., f_q–1, g, h, alors il existe un q-vecteur Λ sur M avec (58) F(f₁, ..., f_q) = Λ( df₁, ..., dfq). Remarquons bien que, comme une q-forme s'applique à un q-uplet de vecteurs, un q-vecteur s'applique à un q-uplet de formes.