POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

Géométrie de Poisson

André Lichnerowicz a proposé en 1977 de généraliser encore les notions précédentes comme suit.

Définition. Une structure de Poisson sur une variété différentiable M est une application ℝ-bilinéaire et antisymétrique (11) C^∞(M)×C^∞(M) → C^∞(M), (f, g) ↦ {f, g} sur l'espace C^∞(M) des fonctions de classe C^∞ de M dans ℝ, qui vérifie l'identité de Jacobi (12) {{f, g}, h} + {{g, h}, f} + {{h, f}, g} = 0 et l'identité de Leibniz (13) {f, gh} = {f, g}h + g{f, h} pour tous f, g et h dans C^∞(M).

Autrement dit, (C^∞(M), { , }) est une algèbre de Lie [cf. groupes (mathématiques) - Groupes de Lie] dont le crochet de Lie satisfait l'identité de Leibniz. Ce crochet { , } est appelé un crochet de Poisson. Une variété équipée d'un tel crochet est appelée une variété de Poisson.

Exemple 1. C'est Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) qui a découvert que le crochet de Poisson original (1) vérifie l'identité « de Jacobi », et on voit sans peine qu'il vérifie l'identité de Leibniz. Puisque toute forme symplectique a une expression locale du même type que celle de T^∗Q, on en déduit que les crochets (9), définis sur les variétés symplectiques, sont bien des crochets de Poisson au sens de la définition générale qui précède.

Exemple 2. Il existe des variétés qui ne peuvent porter des formes symplectiques (par exemple celles de dimension impaire). En revanche, n'importe quelle variété possède des structures de Poisson, en particulier la structure de Poisson triviale, définie par {f, g} = 0 pour toutes fonctions f et g.

Exemple 3. Soit M = ℝ² avec les coordonnées (x, y) et soit p une fonction de ℝ² dans ℝ de classe C^∞(M). On peut définir une structure de Poisson sur ℝ² en posant (14)

. C'est un exercice instructif de vérifier l'affirmation précédente et de voir que toute structure de Poisson sur ℝ² est de ce type.

Exemple 4. Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur ℝ. Une structure de Poisson sur V sera dite linéaire si le crochet de deux fonctions linéaires est encore une fonction linéaire. Alors l'identité de Jacobi nous dit que l'on a sur V^∗, ensemble des fonctions linéaires définies sur V, une structure d'algèbre de Lie. Réciproquement, si (G, [ , ]) est une algèbre de Lie de dimension finie sur ℝ, la relation {f, g}(α) = α([df_α, dg_α]) définit une structure de Poisson linéaire sur G^∗. Dans cette formule df_α, qui est un élément de G^∗∗, est identifié naturellement à un élément de G.

Ce dernier exemple est dû simultanément à Alexander Aleksandrovitch Kirillov, Bertram Kostant et Jean-Marie Souriau ; il très important car il montre que la théorie des variétés de Poisson établit un pont entre la géométrie symplectique et la théorie des algèbres de Lie. C'est, en partie, ce qui a assuré son succès.

Un exemple précis de structure de Poisson linéaire sur ℝ³ est celle qui correspond à l'algèbre de Lie sl(2), l'algèbre de Lie du groupe des matrices 2×2 de déterminant 1. Si l'on note (x, y, z) les coordonnées usuelles sur ℝ³, c'est celle qui est déterminée par les crochets (15) {x, y} = z, {z, x} = 2x, {z, y} = –2y. On verra dans le chapitre suivant que les crochets des fonctions coordonnées déterminent complètement la structure de Poisson. L'allure de son feuilletage symplectique (cf. chap. 5, Le feuilletage symplectique) est illustrée par la figure 1.

On généralise la notion de champ hamiltonien, que l'on avait sur les variétés symplectiques, aux variétés de Poisson comme suit. Fixons une fonction f définie sur la variété de Poisson (M,{ , }) ; l'identité de Leibniz prouve que l'on définit de manière cohérente un champ de vecteurs X sur[...]