POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

Le 2-vecteur associé à une structure de Poisson

Un 2-vecteur A (cf. chap. 13, Appendice) sur une variété M est la donnée d'une section différentiable du fibré vectoriel ⁁²TM ; c'est donc la donnée, pour tout point m de M, d'un élément A_m de ⁁²T_mM (A_m est une forme bilinéaire alternée sur T^∗_mM) de façon que A_m dépende différentiablement de m. Les 2-vecteurs sont les objets « duaux » des 2-formes différentielles.

Dans un système de coordonnées locales (x₁, ..., x_n) on a l'expression

, où les coefficients A_ij sont des fonctions (locales) différentiables.

L'identité de Leibniz assure que tout crochet de Poisson est de la forme (17) {f, g} = Π(df, dg), pour un 2-vecteur Π bien choisi (cf. chap. 13, Appendice). Cela dit, si A est un 2-vecteur quelconque, la formule {f, g} = A (df, dg) définit une opération bilinéaire antisymétrique sur l'espace des fonctions de M qui vérifie l'identité de Leibniz mais, en général, pas celle de Jacobi. En fait, pour le 2-tenseur Π, celle-ci s'exprime sous la forme (18) [Π, Π] = 0, où [ , ] est le crochet de Schouten tel que défini dans le chapitre 13 (Appendice).

Ce formalisme donne une expression commode des crochets de Poisson. Le 2-vecteur Π [vérifiant (17)] est appelé tenseur de Poisson. On parlera indifféremment de « la structure de Poisson { , } » ou de « la structure de Poisson Π ».

Si l'on remplace la variété différentiable par une variété analytique réelle ou complexe et en imposant que Π soit analytique, on définit, de manière analogue, des variétés de Poisson analytiques réelles ou holomorphes.

On remarque aussi que les structures de Poisson se « localisent », c'est-à-dire que toute structure de Poisson sur une variété induit une structure de Poisson en restriction à tout ouvert ; de plus, la connaissance de ces structures réduites sur les ouverts d'un atlas détermine la structure initiale. Ainsi, on peut parler de « l'expression locale » d'une structure de Poisson dans une carte munie de coordonnées (x₁, ..., x_n) : elle est donnée, soit par la famille de crochets de fonctions coordonnées (19) {x_i, x_j} = f_ij, soit, ce qui revient au même, par l'expression locale du 2-vecteur Π : (20)

, où les f_ij, les « composantes » de Π, sont des fonctions de (x₁, ..., x_n).