POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

Le feuilletage symplectique

Soit U un ouvert d'une variété de Poisson M muni de coordonnées canoniques (p₁, ..., p_s, q₁, ..., q_s, z₁, ..., z_m–2s) ; quitte à le restreindre, on peut supposer que (p₁, ..., p_s, q₁, ..., q_s) varie dans un disque ouvert D de ℝ^2s. Alors la sous-variété symplectique S, donnée par les équations z₁ = ... = z_m–2s = 0, est réunion des trajectoires du point de coordonnées nulles pour tous les champs hamiltoniens. En effet, un tel champ est de la forme (28)

, où Z est un champ (ne faisant intervenir que les variables z_i) qui est nul à l’origine. En prenant pour f les fonctions p_i puis q_i, on voit que les trajectoires de l’origine sont du type t ↦ (0, ¼, 0, t, 0, ¼, 0), où t peut occuper les 2s premières places.

Soit x un point de la variété de Poisson M. On note S_x l’ensemble des points y de M pour lesquels il existe une courbe continue de γ : [0, 1] → M, d'origine x [i.e. γ(0) = x], d'extrémité y [i.e. γ(1) = y]et formée en mettant bout à bout un nombre fini de portions de trajectoires de champs hamiltoniens (il existe une suite finie 0 = t₀ < t₁ ... < t_r–1 < t_r = 1 telle que la restriction de γ à chacun des intervalles[t_i, t_i+1]soit une trajectoire d'un champ hamiltonien). La remarque précédente permet de montrer, d'une part, que S_x est une sous-variété de M de dimension égale au rang de x, d'autre part, qu'elle est munie naturellement d'une structure de variété symplectique (elle a comme espace tangent en chaque point y l'espace caractéristique C_y). La sous-variété S_x est appelée feuille symplectique ou, plus succinctement, feuille de x.

Toute variété de Poisson se décompose donc en une réunion disjointe de variétés symplectiques : ses feuilles symplectiques. Réciproquement, la connaissance de cette partition (avec la donnée des structures symplectiques sur chaque partie) détermine complètement la structure de Poisson initiale.

Il faut faire attention au fait que les feuilles ne sont pas forcément toutes de même dimension. Un exemple important est le cas des variétés de Poisson linéaires : notre variété est alors le dual G^∗ d'une algèbre de Lie G (cf. ex. 4 du chap. 2, Géométrie de Poisson). Notons G le groupe de Lie connexe et simplement connexe dont G est l'algèbre de Lie. On rappelle que l'action adjointe de G sur G est celle qui, à un élément g de G, associe la transformation de G qui est la différentielle à l'élément neutre de L_g ∘ R_g^–1, où L_g : x ↦ gx et R_g : x ↦ xg sont respectivement la translation à gauche et la translation à droite par g. L'action coadjointe de G sur G^∗ est celle qui est obtenue en dualisant l'action adjointe. Un calcul élémentaire prouve que les feuilles symplectiques de G^∗ sont les orbites de cette action coadjointe. Un corollaire important est que ces orbites sont naturellement des variétés symplectiques. La feuille de l'origine se réduit à un seul point ; mais, sauf dans le cas trivial, il y a des feuilles de dimension plus grande.

En revanche, dans le cas des variétés régulières toutes les feuilles ont la même dimension et réalisent ce que l'on appelle un feuilletage régulier de la variété de Poisson. Dans ce cas, on peut utiliser les outils de la théorie générale des feuilletages réguliers (holonomie...) pour étudier la variété de Poisson. Dans le cas général, on a un feuilletage « à singularités » dont l'étude est beaucoup plus délicate.