POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

Algébroïdes de Lie

Un algébroïde de Lie consiste en la donnée de trois objets : un fibré vectoriel A sur une variété M (cf. chap. 13, Appendice), une structure d'algèbre de Lie réelle [ , ] sur l'ensemble des sections Γ(A) de ce fibré et un morphisme de fibrés vectoriels ♯ de A dans T(M) ; on impose de plus que l'application induite ♯ : Γ(A) → Χ(M) vérifie les relations (29)[s, fs'] = ♯(s)(f)s' + f[s, s'] pour toutes sections s et s' de A et toute fonction f définie sur M. Cette relation implique que ♯ détermine un morphisme d'algèbres de Lie de Γ(A) dans Χ(M). Bien que cette définition puisse paraître compliquée, on rencontre de tels algébroïdes dans de multiples domaines : feuilletages, fibrés principaux, actions d'algèbres de Lie, quantification géométrique... Un exemple important est l'algébroïde associé à toute variété de Poisson M : il s'agit, par définition, de T^∗M muni de l'application ♯ vue au début du chapitre 4 (Le théorème de décomposition locale d'Alan Weinstein) et du crochet de 1-formes sur M (ce sont bien les sections de T^∗M) défini par (30) {α, β} = L_♯αβ + L_♯βα – dΠ(α, β), où le symbole L_X désigne la dérivée de Lie par rapport au champ de vecteurs X (L_Xθ = i_Xdθ + di_Xθ pour toute forme différentielle θ). On peut donc considérer qu'une structure de Poisson est un cas particulier de structure d'algébroïde.

On a une espèce de réciproque à cette affirmation. De même que se donner une structure d'algèbre de Lie sur un espace vectoriel revient à se donner une structure de Poisson linéaire sur son dual (cf. ex. 4 du chap. 2, Géométrie de Poisson), se donner une structure d'algébroïde sur un fibré vectoriel A revient à se donner une structure de Poisson sur le fibré dual A^∗ d'un type très précis : ce sont celles pour lesquelles le crochet de deux fonctions basiques est nul (une fonction sur un fibré π : B → M est dite basique si elle est de la forme f ∘ π), le crochet de deux fonctions linéaires en restriction à chaque fibre reste linéaire en restriction à chaque fibre, de même que le crochet d'une fonction linéaire en restriction à chaque fibre et d'une fonction basique. Le passage d'une structure à l'autre se fait en remarquant qu'il y a bijection entre les fonctions linéaires en restriction à chaque fibre de A^∗ et les sections de A. Le crochet de deux fonctions linéaires en restriction à chaque fibre correspondant aux deux sections s et s' est la fonction linéaire en restriction à chaque fibre correspondant à[s, s'], le crochet de la fonction linéaire en restriction à chaque fibre correspondant à s avec la fonction basique f ∘ π est la fonction linéaire en restriction à chaque fibre correspondant à la section fs.