POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

Le problème de réalisation symplectique

Le chapitre 5 (Le feuilletage symplectique) montre que les variétés de Poisson sont des réunions de variétés symplectiques. Cela dit, et en particulier dans les cas où la dimension n'est pas constante, une réunion arbitraire de variétés symplectique n'est à peu près jamais une variété de Poisson : on doit réaliser des conditions de recollement que l'on ne sait pas exprimer de manière simple.

Dès les débuts de la théorie des variétés de Poisson, on a tenté de ramener leur étude à celle des variétés symplectiques en suivant une autre piste : « rajouter des variables » pour obtenir une variété symplectique. De façon plus précise, étant donné une variété de Poisson M, on cherche à construire une variété symplectique S, de dimension minimale, et une submersion φ : S → M qui échange les crochets de Poisson, c'est-à-dire telle que l'on ait (31) {f ∘ φ, g ∘ φ} = {f, g} ∘ φ, pour toutes fonctions f et g sur M. Un tel couple (S, φ) est appelé réalisation symplectique de (M, { , }).

Si l'on permet à S de ne pas être séparée, Alan Weinstein et Mikhail Vladimirovitch Karasev ont montré l'existence de telles réalisations ; cependant ces constructions restent relativement techniques.

Un exemple important est la réalisation symplectique des structures de Poisson linéaires (cf. ex. 4 du chap. 2, Géométrie de Poisson). Dans ce cas, la variété de Poisson est le dual G^∗ d'une algèbre de Lie G et l'on a une réalisation symplectique (T^∗G, φ) en prenant pour G un groupe de Lie qui admet G pour algèbre de Lie associée et pour φ : T^∗G → G^∗ l'application qui à toute 1-forme en un point quelconque x de G associe sa translatée à gauche à l'origine (classiquement identifiée à un élément de G^∗).

Cet exemple jouit d'une particularité : la réalisation symplectique a une structure de groupoïde de Lie. Par là nous entendons que T^∗G a une structure naturelle de petite catégorie (cf. catégories et foncteurs) pour laquelle toutes les flèches sont inversibles : les objets (les unités) sont les éléments de G^∗, vus comme 1-formes à l'élément neutre de G ; une 1-forme α au point x de G est vue comme une flèche de source L^∗_xα et de but R^∗_xα (où L_x : y ↦ xy et R_x : y ↦ yx désignent respectivement les translations à gauche et à droite par x). Si α_x et β_y sont deux 1-formes, l'une au point x et l'autre au point y, telles que le but de la première soit la source de l'autre, alors on définit leur composée comme étant la forme au point xy obtenue en translatant à gauche α_x par y.

Dès les années 1980, on s'est demandé si cet exemple se généralisait : est-ce que toute variété de Poisson M a une réalisation par un groupoïde symplectique ? C'est-à-dire, est-ce que l'on a une réalisation S munie d'une telle structure de petite variété pour laquelle toutes les flèches sont inversibles et toutes les opérations (composition, passage à l'inverse, source, but) sont différentiables ? De plus, on voudrait que M s'identifie à l'ensemble des objets et qu'elle puisse être vue de manière naturelle comme une sous-variété de Poisson de S de dimension moitié de celle de S sur laquelle la forme symplectique s'annulerait (ce serait une « sous-variété lagrangienne »).

Par ailleurs, comme l'on associe à chaque groupe de Lie une algèbre de Lie, on sait associer à tout groupoïde de Lie un algébroïde de Lie. Par exemple, si une variété de Poisson M a une réalisation par un groupoïde comme dans le précédent paragraphe, alors l'algébroïde associé est précisément (T^∗M, ♯, { , }) vu dans le chapitre 6 (Algébroïdes de Lie). C'est cette remarque qui a relancé, dans les années 1990,[...]