POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

Structures de Poisson et quantification

Soit un système mécanique décrit par un champ hamiltonien sur une variété de Poisson P (c'est souvent un fibré cotangent). Lorsque l'on tente de quantifier ce système, on tente d'associer à chaque fonction f (« observable classique ») définie sur P un opérateur O(f) (« observable quantique ») d'un espace de Hilbert (cf. mécanique quantique - Le formalisme de la mécanique quantique). En fait, des considérations physiques font que l'on cherche plutôt une famille O_h(f) de tels opérateurs, dépendant d'un paramètre réel h, et que l'on impose des relations (32) O_h(f) ∘ O_h(g) – O_h(g) ∘ O_h(f) = O_h({f, g}) + o(h), où o(h) désigne une expression petite par rapport à h. On ne sait réaliser ce programme qu'en imposant beaucoup de conditions supplémentaires et en restreignant l'espace des observables. Cela dit, quand cette quantification existe et que les applications f ↦ O_h(f) sont bijectives, l'espace des observables classiques hérite d'une famille à un paramètre h de lois internes associatives ∗_h définies par (33) f ∗_h g ≔ O_h^–1(O_h(f) ∘ O_h(g)). L'idée qui s'est donc imposée aux physiciens mathématiciens (en guise de préliminaire à la quantification) est la construction de telles familles de lois associatives sur l'espace C^∞(P) des fonctions de classe C^∞ définies sur P. De façon plus précise, on s'intéresse d'abord à des familles « formelles » de lois

 ; ce qui mène à la définition suivante.

On appelle quantification par déformation de la structure de Poisson { , } sur P une famille (∗_k)_{k ∈ ℕ} de lois de composition sur C^∞(P) telle que : 1. f ∗₀ g = fg 2. f ∗₁ g = {f, g} 3.

, pour toutes fonctions f, g et h et tout entier m. La condition 1 impose que ∗₀ est le produit usuel, la condition 2 reflète la relation (32) et la condition 3 est la version formelle de l'associativité. On impose aussi que les opérateurs (f, g) ↦ f ∗_h g soient « locaux », c'est-à-dire que la valeur de f ∗_h g en un point ne dépende que des restrictions de f et g à un voisinage, aussi petit que l'on veut, de ce point.

D'un point de vue plus algébrique, une quantification par déformation est une déformation associative (formelle) du produit usuel ayant comme « terme directeur » le crochet de Poisson. Dans les années 1980 apparurent plusieurs résultats d'existence de telles déformations dans des cas particuliers, comme les structures symplectiques ou linéaires. En 1997, Maxim Kontsevitch a prouvé l'existence de telles déformations pour toute structure de Poisson. Ses résultats établissent aussi une correspondance (bijective « à équivalence près ») entre les structures de Poisson et les déformations associatives du produit usuel. A posteriori cela justifie l'importance de la notion de structure de Poisson.