AIRE MINIMALE SURFACES D'

Au xix^e siècle, le physicien belge Joseph Plateau découvrait que les membranes savonneuses formées dans des contours rigides en fil de fer représentaient une solution simple à certains problèmes mathématiques complexes qui exigent la détermination de surfaces d'aire minimale. Quelle est, par exemple, la forme de la surface d'aire minimale limitée par les douze arêtes d'un cube en fil de fer ?

La surprise fut grande quand on se rendit compte qu'on pouvait résoudre ce problème d'aire minimale en plongeant le cube dans une solution de savon : il se forme en effet à l'intérieur de cette armature, quand on l'enlève de son bain, une surface constituée d'un film liquide, limitée par les douze arêtes, et présentant la propriété d'avoir une aire minimale. Ce n'est que récemment que l'analyse a permis de décrire la géométrie de ces solutions expérimentales. C'est le mathématicien allemand Jacob Steiner qui, au début du xix^e siècle, étudia le problème du chemin le plus court, qui est aujourd'hui celui de l'autoroute.

Le problème de l'autoroute

Le cas le plus simple est celui de la route la plus courte reliant deux villes : nous savons depuis nos premières années d'école que c'est la route rectiligne. Mais si nous essayons de généraliser ce résultat pour déterminer la route la plus courte pour relier trois villes, quatre villes ou plus, le problème devient vite de plus en plus complexe.

Prenons comme exemple le problème qui consiste à déterminer la longueur minimale du réseau routier reliant quatre villes A, B, C et D disposées aux sommets d'un rectangle dont les côtés mesurent 100 km et 200 km. La solution n'apparaît pas immédiatement. Procédons méthodiquement.

On peut d'abord imaginer un réseau de routes rectilignes qui relieraient toutes les villes deux à deux par le trajet le plus court possible. Les routes de ce réseau auraient dans ce cas un total de : 100 × (6 + 2√5) km = 1 047 km.

Il est cependant possible de construire une autoroute reliant toutes les villes mais ayant une longueur plus faible. Considérons une route circulaire passant par les quatre villes. Elle relie les quatre villes entre elles, et sa longueur totale est : 100 × (π√5) km = 702 km.

Si l'arc de cercle allant de A à B est remplacé par la route la plus courte reliant A à B, c'est-à-dire une route rectiligne, la longueur totale de la route sera réduite. Si on remplace chaque tronçon de route circulaire reliant deux villes adjacentes par une route rectiligne, on obtient une route rectangulaire, dont la longueur est : 100 × (6) km = 600 km.

On peut encore réduire la longueur totale de l'autoroute en supprimant le tronçon BC. Les quatre villes sont encore reliées les unes aux autres, et la longueur totale n'est plus que de : 100 × (5) km = 500 km.

On serait tenté de dire, pour des raisons de symétrie, que la longueur minimale d'autoroute sera obtenue grâce au réseau diagonal dont la longueur totale est : 100 × (2√5) km = 447 km.

On peut trouver une route de longueur plus faible encore que l'on trace en prenant le rectangle moins le côté AB ; on obtient : 100 × (4) km = 400 km.

Cette configuration correspond-elle au trajet le plus court ? Sinon, quel est le réseau d'autoroute ayant la plus faible longueur, et quel en est le kilométrage ? Recherchons la solution à l'aide de la méthode analogique basée sur les propriétés des membranes savonneuses.