AIRE MINIMALE SURFACES D'

Les solutions expérimentales

Nous savons qu'une simple membrane savonneuse enfermée dans un contour en fil de fer, par exemple un anneau, a la propriété de former, à l'équilibre, une surface d'aire minimale : c'est une conséquence de la loi selon laquelle l'énergie du film liquide est minimale à l'équilibre. Cette énergie est proportionnelle à l'aire, tant que la tension superficielle de la lame est constante, ce qui est généralement le cas à température constante. Dans le cas où la membrane savonneuse est contenue dans un anneau en fil de fer, la théorie mathématique montre – et l'expérience le confirme – que la surface d'aire minimale a la forme d'un disque entouré par l'anneau.

Commençons d'abord par vérifier que la ligne droite est bien le plus court chemin entre deux points.

Prenons pour cela deux feuilles parallèles de Perspex (commercialisé aux États-Unis sous le nom de Lucite) transparent, séparées par deux épingles perpendiculaires aux feuilles. L'ensemble formé par une des feuilles et les épingles représente, à l'échelle, les deux points dans un plan. Si l'on immerge ce système dans une solution glycérique et qu'on l'en retire, il se forme un film liquide joignant les épingles entre les feuilles. Par symétrie, le film sera perpendiculaire aux feuilles et aura une largeur b égale à la distance entre les deux feuilles. Il commencera à une épingle et se terminera à l'autre. En conséquence, il aura la forme d'un ruban de largeur b. L'aire de ce ruban sera proportionnelle à sa longueur. Ainsi, l'aire minimale correspondra à la longueur minimale. Tant que l'équilibre n'est pas atteint, le ruban est courbe : quand il atteint la position de repos, il devient plan et forme une ligne droite à l'intersection avec l'une des feuilles. Le chemin minimal reliant deux points est ainsi vérifié.

On voit maintenant comment résoudre le problème des quatre villes. Il faut pour cela construire un système comprenant deux feuilles parallèles en Perspex transparent, reliées par quatre épingles perpendiculaires aux feuilles et disposées en rectangle de façon à représenter, à l'échelle, les quatre villes considérées. Après l'avoir enlevé de la solution savonneuse, on voit se former entre les feuilles un film liquide, ayant la forme d'un ruban reliant les quatre épingles. Quand il atteint sa position de repos, on obtient la configuration d'aire minimale, et donc le chemin minimal reliant les épingles.

Cette configuration minimale se compose de deux intersections triples, les trois routes arrivant à chacune des intersections faisant entre elles des angles de 120⁰ qui sont du point de vue physique la conséquence de l'équilibre entre trois tensions superficielles égales. La longueur totale de l'autoroute est : 100 × (2 + √3) km = 373 km.

C'est le tracé le plus court que nous ayons obtenu. Voici, par analogie, résolu notre problème, à l'aide des propriétés d'aire minimale des membranes savonneuses. Il est évident que cette méthode peut s'appliquer à des problèmes comprenant un nombre quelconque de villes.

Si l'on réduit, d'autre part, la dimension des côtés représentant les longueurs du rectangle, la configuration minimale est modifiée, le tronçon central étant réduit. On peut essayer de réduire les côtés du rectangle jusqu'à ce que les deux intersections triples coïncident : c'est le cas quand la longueur AB est de 58 km. On devrait, semble-t-il, obtenir une intersection quadruple, mais cette configuration est instable et la forme du film liquide se stabilise en une autre configuration qui possède deux intersections triples : la longueur de l'autoroute est d'ailleurs de 200 km dans cette dernière configuration, alors qu'elle est de 231 km dans la configuration instable.[...]