AIRE MINIMALE SURFACES D'

Les surfaces minimales dans l'espace à trois dimensions

À la fin du xix^e siècle, un petit nombre seulement de problèmes d'aire minimale avaient pu être complètement résolus, en particulier celui de la surface d'aire minimale reliant deux anneaux coaxiaux, perpendiculaires à leur axe commun, et celui de la surface minimale contenue dans un quadrilatère gauche, c'est-à-dire un quadrilatère dont les arêtes ne sont pas toutes dans le même plan.

Leonhard Euler a montré, au xviii^e siècle, que la solution du premier problème était, à la condition que les anneaux fussent suffisamment proches l'un de l'autre, une caténoïde, c'est-à-dire une surface de révolution dont la méridienne est une chaînette, courbe formée par une chaîne suspendue en deux points. À mesure qu'augmente la distance entre les deux anneaux, la surface de la caténoïde se rapproche de l'axe jusqu'à une distance critique, c'est-à-dire au moment où la surface se sépare en deux disques enfermés dans les anneaux. Si l'on continue à augmenter la distance entre les anneaux, la seule surface d'aire minimale sera formée des deux disques. La surface de la caténoïde est la surface minimale absolue tant que la distance qui sépare les deux anneaux est suffisamment faible. Les deux disques donnent une surface minimale relative quand la distance entre les anneaux est faible. Cependant, quand on augmente la distance entre les anneaux et que l'aire de la caténoïde augmente, on atteint une distance pour laquelle l'aire des disques est égale à l'aire de la caténoïde. Entre cette distance et la distance critique, les deux disques forment la surface minimale absolue, et la surface de la caténoïde n'est qu'une surface minimale relative.

La solution du problème de la surface d'aire minimale contenue dans un quadrilatère gauche a été trouvée à la fin du xix^e siècle, par H. A. Schwarz. Il s'agit d'une surface en forme de « selle ». Jesse Douglas et Tibor Radó ont fait d'autres découvertes analytiques importantes dans le cadre de l'étude des surfaces d'aire minimale.

L'une des caractéristiques « simplificatrices » de ces deux solutions est la continuité de la surface et de son gradient. D'après ce que nous savons des solutions du problème de l'autoroute, on peut s'attendre, quand trois surfaces se coupent à 120⁰, que les surfaces minimales aient des gradients discontinus le long de la ligne d'intersection des trois surfaces.

Considérons par exemple le problème de la détermination de la surface d'aire minimale limitée par les six arêtes d'un tétraèdre. On pourrait penser que la surface d'aire minimale est formée par les faces du tétraèdre. Mais, si l'on trempe une armature en fil métallique ayant la forme d'un tétraèdre dans une solution de savon, on voit se former une surface d'aire minimale consistant en six surfaces planes ayant chacune la forme d'un triangle isocèle. Chaque section triangulaire est limitée, sur un côté, par une arête de l'armature tétraédrique. Le sommet opposé à ce côté est le centre du tétraèdre. Les deux côtés égaux, adjacents à ce sommet, sont formés chacun par l'intersection, à 120⁰, de trois surfaces triangulaires. Ces quatre lignes sécantes se coupent au centre du tétraèdre en formant des angles de 109⁰28' et se terminent aux sommets du tétraèdre. Les propriétés géométriques relatives aux surfaces et aux lignes sécantes sont celles des surfaces d'aire minimale. Dans le cas le plus général, les surfaces seront courbes, et les lignes sécantes ne seront pas rectilignes.

Le problème, que nous posions dans l'introduction, de la détermination de la surface d'aire minimale limitée par les arêtes d'une armature cubique peut, lui aussi, être résolu par l'immersion de[...]