STATISTIQUES TESTS D'HYPOTHÈSES

Tests déterministes et stochastiques

On identifie tout test avec une statistique ϕ à valeurs ϕ(ω) dans l'intervalle [0, 1], et la procédure de décision au vu d'un échantillon ω (où ω ∈ Ω) est la suivante : – si ϕ(ω) = 0, on accepte l'hypothèse nulle H₀ ; – si ϕ(ω) = 1, on rejette H₀ ; – si 0 < ϕ(ω) < 1, on rejette H₀ avec la probabilité ϕ(ω).

Un test ϕ(ω) est dit déterministe si ϕ(ω) = 0 ou 1 pour tout ω appartenant à Ω\N, où P_θ ;(N) = 0 quel que soit θ. Dans ce cas, l'ensemble de rejet de l'hypothèse nulle H₀, R_c(ϕ) = {ω ; ω ∈ Ω et ϕ(ω) = 1}, est la région critique du test ϕ. Sur son complémentaire dans Ω, Ω\R_c(ϕ), l'hypothèse H₀ est acceptée.

D'autres tests sont appelés stochastiques. Dans ce deuxième cas, pour tout échantillon ω, l'hypothèse H₀ est rejetée avec la probabilité ϕ(ω). Cela signifie que pour prendre une décision définitive, il faut produire une sorte de « jeu », indépendant du résultat d'expérience ω, dans lequel la probabilité de « gagner » est ϕ(ω). Si on gagne dans ce jeu, alors on rejette l'hypothèse H₀ ; sinon, on l'accepte.

Pour tout test ϕ, la probabilité de rejeter l'hypothèse H₀ lorsqu'elle est vraie, c'est-à-dire l'erreur de première espèce, est donnée par

, où P_θ(ω) est la loi de ω sous le paramètre θ.

La quantité

est appelée niveau du test ϕ.

La probabilité d'accepter l'hypothèse H₀ lorsqu'elle est fausse, c'est-à-dire l'erreur de seconde espèce, est donnée par α₁ (ϕ, θ) = 1 – E_θ[ϕ], θ ∈ Θ₁. La quantité β_ϕ(θ) = E_θ[ϕ], θ ∈ Θ₁, est appelée puissance du test ϕ sous le paramètre θ et la fonction β_ϕ de Θ dans [0, 1] définie par β_ϕ(θ) = E_θ[ϕ] est appelée fonction puissance du test ϕ.

Puisqu'il n'existe aucun test qui minimise les deux erreurs simultanément, en théorie des tests statistiques on fixe un niveau convenable α d'erreur de première espèce, (1)

, puis on cherche un test ϕ qui minimise l'erreur de seconde espèce ou, ce qui est équivalent, maximise la puissance, (2) , pour tous θ ∈ Θ₁, sous la contrainte 1. Si un tel test existe, unique pour tout ensemble Θ₁, il est appelé test uniformément le plus puissant (test UPP) de niveau α. Pour certaines classes de lois de tels tests UPP existent. En particulier, si l'ensemble Θ₁ = {θ₁} n'a qu'un élément, un tel test existe : c'est le test qui rend maximale l'espérance E_θ1[ϕ] sous la contrainte de la formule 1.

Notons une propriété importante des tests. Un test ϕ est dit sans biais si (3)

. Lorsqu'un test est sans biais, la probabilité de rejeter l'hypothèse H₀ lorsqu'elle est vraie est plus faible que celle de rejeter H₀ lorsqu'elle est fausse.