STATISTIQUES TESTS D'HYPOTHÈSES

Tests uniformément les plus puissants

Soit (Ω, B, P_θ), θ ∈ Θ ⊂ ℝ, un modèle statistique, où Ω est un espace d'échantillonnage, B est une tribu sur Ω, P_θ est une loi de probabilité sur B paramétrisée par un paramètre réel θ, Θ est un espace paramétrique inclus dans ℝ.

Nous avons vu que le problème consistant à construire un test ϕ uniformément le plus puissant pour tester l'hypothèse statistique H₀ : θ ∈ Θ₀ contre l'hypothèse alternative H₁ : θ ∈ Θ₁, où Θ₁ est le complémentaire de Θ₀ dans Θ, se réduit au problème de maximisation de la puissance (11)

, dans la classe de tous les tests ϕ vérifiant la condition (12) , où α est un niveau admis, avec β_ϕ(θ) = E_θ[ϕ].

Le problème résumé par les conditions 11 et 12 n'admet une solution que pour certaines familles de lois P_θ, que nous allons considérer.

Sans perte de généralité, supposons que sur (Ω, B) il existe une mesure σ-finie dominante μ, et notons la densité dP_θ/dμ(ω) = p_θ(ω). Supposons que, pour θ ≠ θ', on ait P_θ ≠  P_θ'. Supposons encore que les hypothèses soient unilatérales, c'est-à-dire que : (13) H₀ : θ ≤ θ₀ contre H₁ : θ > θ₀. On dit que la famille de densités (p_θ)_{θ ∈ Θ} possède un rapport de vraisemblance monotone si, pour tout θ et tout θ', il existe une statistique T à valeurs T(ω), ω ∈ Ω, telle que le rapport p_θ'(ω)/p_θ(ω) soit une fonction croissante de T. Dans ce cas, un test UPP existe et sa structure est donnée par le théorème suivant.

Théorème 3. Soit (p_θ)_{θ ∈ Θ} une famille de densités de rapport de vraisemblance monotone relativement à une statistique T. Alors : – Pour tester H₀ contre H₁ dans le problème 13, il existe un test UPP ϕ défini par (14)

où les constantes C = C_α et γ = γ_α sont choisies de façon que (15) avec α donné à l'avance, 0 < α < 1. – La fonction puissance β_ϕ de ce test ϕ est strictement croissante partout où β_ϕ(θ) < 1 (rappelons que β_ϕ(θ) = E_θ[ϕ]). – Ce test est de niveau α. – Pour tout θ' le test ϕ défini par les conditions 14 et 15 est UPP pour tester l'hypothèse H^'₀ : θ ≤ θ' contre l'hypothèse alternative H^'₁ : θ > θ' de niveau α' = β_ϕ(θ').

Une classe importante de lois pour lesquelles le rapport de vraisemblance est monotone est représentée par la famille exponentielle de paramètre unidimensionnel. C'est une famille de lois dont la densité relative à une mesure dominante μ est de la forme (16) p_θ(ω) = m(θ) exp{Q(θ)T(ω)}h(ω), où Q(θ) est une fonction strictement monotone, T(ω) est une statistique dont l'existence est postulée dans la définition du rapport de vraisemblance monotone, m(θ) et h(ω) sont des fonctions positives.

Si la fonction Q(θ) est strictement croissante, un test UPP ϕ pour le problème 13 est donné par les conditions 14 et 15. Si Q(θ) est strictement décroissante, il faut changer les sens des inégalités dans la condition 14 pour obtenir un test UPP ϕ pour le problème 13.

Exemple. Pour comparer la productivité d'une nouvelle variété de graines avec celle d'une ancienne variété, on ensemence n parcelles homogènes, chacune avec la nouvelle variété sur une moitié et l'ancienne variété sur l'autre. Les parcelles où la productivité de la nouvelle variété est supérieure à celle de l'ancienne sont considérées comme des « succès ». Désignons par θ la probabilité de succès d'une parcelle, 0 < θ < 1. On veut tester l'hypothèse (17) H₀ : 0 < θ ≤ 1/2 contre H₁ : 1/2 < θ < 1. L'hypothèse H₀ signifie que la nouvelle espèce n'a pas d'avantage et le rejet de H₀ signifie que la nouvelle espèce[...]