STATISTIQUES TESTS D'HYPOTHÈSES

Tests d'hypothèses sur les paramètres des lois normales

Les tests d'hypothèses sur les paramètres des lois normales sont très importants car ils ont de nombreuses applications. Considérons la loi normale N (μ, σ²) de moyenne μ, de variance σ² et de paramètre inconnu θ = (μ, σ²) appartenant à ℝ×ℝ₊.

Pour chacune des quatre hypothèses nulles unilatérales sur la moyenne et la variance : H₀⁽¹⁾ = ((μ, σ²) : μ ≤ μ₀), H₀⁽²⁾ = ((μ, σ²) : μ ≥ μ₀), H₀⁽³⁾ = ((μ, σ²) : σ ≤ σ₀), H₀⁽⁴⁾ = ((μ, σ²) : σ ≥ σ₀), il existe un test UPP sans biais, c'est-à-dire un test vérifiant les conditions 3, 11 et 12. Tous ces tests sont basés sur le rapport de vraisemblance. Au vu de l'échantillon (X₁, ,..., X_n), les régions critiques pour les hypothèses H₀⁽¹⁾ et H₀⁽³⁾ sont les suivantes :

Notons que ces tests sont déterministes. Le test UPP sans biais pour l'hypothèse H₀⁽¹⁾ est basé sur la statistique de Student et celui de H₀⁽³⁾ sur la statistique du « khi-deux ».

Pour l'hypothèse H₀⁽²⁾ [respectivement H₀⁽⁴⁾], la région critique s'obtient à partir de R_c⁽¹⁾ [respectivement R_c⁽³⁾]par changement du sens de l'inégalité.

Pour certaines hypothèses nulles bilatérales, il existe aussi des tests UPP sans biais.

Si la loi normale dépend d'un seul paramètre inconnu, la moyenne ou la variance, alors elle fait partie des familles de lois ayant un rapport de vraisemblance monotone, considérées plus haut.