THE PRICING OF OPTIONS AND CORPORATE LIABILITIES, Fischer Black et Myron Scholes Fiche de lecture

L'article de Fischer Black et Myron Scholes « The Pricing of Options and Corporate Liabilities » (L'Évaluation des options et des dettes privées), paru en mai 1973 dans le Journal of Political Economy, présente une nouvelle méthode d'évaluation des options, instruments financiers de première importance sur les marchés dérivés. La formule proposée par Black et Scholes reste amplement utilisée par les opérateurs sur les marchés de capitaux et a radicalement modifié la façon d'appréhender et de gérer les risques. Ces travaux, menés en parallèle avec ceux de Robert C. Merton (publiés la même année), ont d'ailleurs largement contribué au phénomène d'innovation financière et au développement des marchés et furent, à ce titre, récompensés par la fondation Nobel en 1997.

Que vaut une option ?

Les marchés à terme permettent de prendre position sur l'évolution d'un actif (marchandise, devise, action, indice, etc.), dans le but de limiter les risques ou de spéculer. En particulier, les options offrent la possibilité de se couvrir contre les événements défavorables, tout en bénéficiant des événements favorables. Considérons une option qui donne le droit d'acheter à l'échéance T une action à un prixK (le prix d'exercice). Le gain de l'acheteur, et par conséquent le prix qu'il est prêt à payer (la prime), dépend positivement, et de façon non linéaire, du cours de l'action à l'échéance S_T : si S_T > K, il peut simultanément vendre l'action au comptant au prix S_T et l'acheter auprès du vendeur de l'option qui s'y est engagé par contrat au prix K ; si S_T ≤ K, il n'a aucune obligation d'achat. Le gain, une fois la prime payée, est donc égal à S_T — K dans le premier cas, tandis qu'il est nul dans le second. À l'inverse, puisqu'il s'agit d'un jeu à somme nulle, le vendeur perd S_T – K si cette différence est positive. Pour les deux parties, il s'agit donc, à première vue, d'un simple pari sur l'avenir. Black et Scholes ont cependant montré que la valeur de l'option n'est pas fonction des prix futurs. Leur démonstration peut se résumer brièvement de la manière suivante.

Pour évaluer la prime d'une option, Black et Scholes suggèrent de construire un portefeuille qui, à tout moment, soit sans risque. Il faut pour cela savoir de combien varie le prix de l'option quand varie le prix de l'action ; ce rapport est appelé le « delta » (Δ). Les deux auteurs proposent alors pour chaque option achetée, de vendre Δ actions. Ce portefeuille est sans risque puisque, quelle que soit la variation de prix des actions, elle est compensée par une variation en sens contraire du prix de l'option. Comme le Δ se modifie à mesure que le cours de l'action varie et que l'échéance de l'option approche, il est nécessaire d'ajuster sa composition en permanence ce qui est théoriquement possible si, comme le font Black et Scholes, on suppose qu'il n'existe aucun coût de transaction (ni taxes, ni frais de courtage ou de négociation). Finalement, le fait que ce portefeuille soit insensible aux variations de prix de l'action implique que son rendement soit égal à celui d'un titre sans risque, tel qu'un bon du Trésor. En effet, si tel n'était pas le cas, les investisseurs profiteraient du différentiel de rendement pour réaliser des arbitrages (c'est en fait à Merton que l'on doit l'idée du raisonnement par arbitrage). Or un seul prix satisfaisait ces conditions : il est fonction croissante de la probabilité d'exercice (évaluée par une loi normale dans un cadre où les agents sont indifférents au risque), du prix courant de l'action, de la volatilité future, du taux d'intérêt sans risque, de la maturité,[...]