CINÉTIQUE DES FLUIDES THÉORIE

Densité simple et double

La densité simple (nombre de molécules par cm³) est définie par la formule :

Comme toutes les grandeurs macroscopiques, la densité simple est une fonction de r et de t et non de la vitesse microscopique w, celle-ci s'étant éliminée dans l'intégration (18).

La densité double (dont on se servira pour évaluer l'effet macroscopique des interactions entre molécules) est définie par :

Dans un fluide homogène isotrope, elle ne dépend que de la distance r₁₂ = |r₁ − r₂|.

Vitesse de fluide

La vitesse de fluide v est la valeur moyenne de w pondérée par la fonction de distribution simple. Soit :

Dans un fluide au repos, →v est nulle ; dans les écoulements lents usuels (subsoniques), la vitesse de fluide est bien plus petite en valeur absolue que les vitesses d'agitation thermique w (→v plus petit que la moyenne de |w|) ; dans de tels écoulements le fluide reste donc presque isotrope.

Flux de molécules dans un gaz isotrope

Dans un gaz isotrope, le flux qui traverse un élément de surface placé en un point quelconque du fluide est nul ; mais il est en fait la somme algébrique de deux flux égaux Φ et Φ′ traversant la surface en sens contraire. Le calcul de ces flux à partir de f₁ donne la formule générale :

La formule (21) a de nombreuses applications, car on peut l'appliquer non seulement à une paroi imaginaire située dans la masse du gaz, mais aussi à une paroi réelle (étude des phénomènes d'adsorption), ou à un trou dans cette paroi réelle (étude des phénomènes de diffusion thermique dans les corps poreux et dans les canalisations à vide).

Pression

On peut faire un calcul assez simple de la pression dans un gaz en définissant celle-ci comme la force par unité de surface exercée sur une paroi. Du point de vue de la théorie cinétique, cette force est une valeur moyenne due à la succession de petites impulsions élémentaires produites par les collisions des molécules sur les parois. Si l'on suppose que la paroi est parfaitement plane et que les molécules rebondissent élastiquement sur celle-ci, on trouve que la force est normale à la paroi et, dans le cas simple d'un gaz dilué en équilibre thermodynamique à la température T, le calcul conduit, pour la pression p, à la loi des gaz parfaits :

Cependant, de manière générale, un gaz en mouvement est anisotrope et on ne peut pas considérer que la pression en un point soit un scalaire comme on le fait en hydrostatique. D'ailleurs, il est bien connu que la force exercée sur une paroi comporte alors, en plus de la composante normale, une composante tangentielle d'entraînement de la paroi. Mais, chose plus grave, la force exercée sur la paroi dépend a priori non seulement du gaz, mais aussi des propriétés physico-chimiques de la paroi : si l'on adopte le modèle de la figure, on en conclut que la force d'entraînement est nulle. En fait il n'en est rien, ce qui montre clairement qu'un tel modèle est trop simple et que, pour éviter de telles difficultés, la notion de pression doit être définie dans le volume même du gaz, indépendamment de la présence d'une paroi.

L'analyse faite par divers auteurs a démontré que la pression totale est un tenseur du deuxième ordre p. La quantité ∇ . p, divergence de ce tenseur, joue le rôle d'une force par unité de volume appliquée au fluide : p se compose de deux parties de natures différentes : une pression cinétique liée à l'agitation thermique et une pression dite intermoléculaire liée aux interactions entre molécules.

Le tenseur de pression cinétique se calcule à partir de la fonction de distribution f₁ par la formule :

Comme le montre cette formule, c'est une mesure de l'agitation thermique, c'est-à-dire des écarts des vitesses w par rapport à la vitesse de fluide v ; la pression cinétique serait nulle dans un faisceau parfaitement ordonné où toutes les molécules auraient la même vitesse w = v. Dans un gaz isotrope, la pression cinétique est un scalaire (plus précisément un tenseur diagonal unitaire), et l'on peut alors poser par définition :

Le tenseur de pression intermoléculaire se calcule à partir de la densité double n₁₂ et de la force d'interaction X₁₂ (force exercée par une molécule placée au point 2 sur une molécule placée au point 1) par la formule générale :

Dans un gaz isotrope, la pression intermoléculaire est un scalaire et peut se déduire du potentiel d'interaction ϕ(r) (r = |r₁₂|) par la formule :

La pression totale p étant la somme Ψ= + π=, il est intéressant de comparer les deux termes de cette somme ; on trouve alors que, dans un gaz dilué, la pression cinétique est dominante, la pression intermoléculaire n'est qu'une faible correction. En d'autres termes, la pression cinétique Ψ= est une généralisation de la loi des gaz parfaits au cas des gaz hors d'équilibre thermodynamique et anisotropes. La pression intermoléculaire est, dans les mêmes conditions, une généralisation des corrections dites de gaz réel ou de Van der Waals (appelées parfois aussi pression interne). Cette correction peut être positive ou négative selon les propriétés des interactions moléculaires. Dans le cas d'un gaz isotrope, la formule (27) montre que π est positif si la loi d'interaction est répulsive à toute distance.

Flux de chaleur

Le tenseur flux de chaleur Q (tenseur du troisième ordre) peut être défini comme le quatrième « moment » de f₁ (n, v, Ψ

On utilise souvent aussi une quantité un peu plus simple, le vecteur flux de chaleur :

Taux de réaction

Lorsque les énergies des molécules sont assez élevées, elles peuvent, par des collisions inélastiques, effectuer divers types de réaction. On appelle taux d'une certaine réaction j le nombre de réactions produites par unité de volume et par unité de temps. Ce taux dn_j/dt se calcule à partir de la section efficace σ_j de cette réaction et des fonctions de distribution des particules 1 et 2 qui réagissent. Jusqu'à maintenant n'ont été considérés que des gaz purs constitués d'une seule espèce de molécules ; pour le calcul des taux de réactions, il est nécessaire en général de considérer un mélange gazeux constitué de particules 1 caractérisées par leur fonction de distribution simple f₁ et de particules 2 caractérisées par leur fonction de distribution simple f₂ (cela n'exclut cependant pas le cas d'un gaz pur où des réactions « symétriques » correspondant à 1 ≡ 2 peuvent se produire). Pour effectuer le calcul, on remarque que les deux distributions f₁ et f₂ sont équivalentes à un ensemble de faisceaux élémentaires qui se croisent : à chacun de ces couples de faisceaux on peut, en considérant le mouvement relatif, appliquer la relation (10). On obtient ainsi, tout calcul fait pour le taux d'une réaction j, la relation :