CINÉTIQUE DES FLUIDES THÉORIE

Équation de Liouville

L'équation la plus fondamentale est celle qui décrit l'évolution de la densité D dans l'espace des phases. De manière tout à fait générale, on montre que cette équation s'écrit sous une forme particulièrement simple, lorsque l'espace des phases où D est défini est constitué à partir de variables q_i et p_i canoniquement conjuguées au sens de Hamilton. Dans ces conditions, on montre qu'un élément de volume quelconque de l'espace se conserve au cours de l'évolution dynamique du système (théorème de Liouville) et que l'équation d'évolution de D (équation de Liouville) s'écrit :

Système d'équations de B.B.G.K.Y. (équations de la hiérarchie)

Par application de la méthode régressive, on peut obtenir, à partir de (40), les équations d'évolution des fonctions de distribution f₁, f₁₂, ... On obtient le système :

Malheureusement, les équations (41), (42), ... sont couplées de proche en proche : l'équation déterminant f₁ contient f₁₂, celle qui détermine f₁₂ contient f₁₂₃, etc. Si donc on s'arrête à un nombre fini d'équations, on a a priori un système indéterminé. Pour décrire complètement l'évolution du système, il faut en principe utiliser un système infini d'équations couplées analogue à (41) et (42). Ce système infini est appelé système B.B.G.K.Y., du nom des premiers auteurs qui l'ont considéré (Born, Bogolioubov, Green, Kirkwood, Yvon). La recherche d'approximations permettant d'arrêter le système B.B.G.K.Y. après une ou deux équations constitue un des problèmes fondamentaux de la théorie cinétique des fluides, connu sous le nom de problème de la fermeture du système d'équations de B.B.G.K.Y.

Équation de Boltzmann

Dans un gaz dilué constitué de molécules neutres, les forces d'interaction sont à courte portée, et la portée de ces forces est nettement inférieure à la distance moyenne entre les molécules. On en conclut que les collisions ternaires sont négligeables et qu'entre deux collisions binaires les trajectoires des molécules sont des segments de droite (qui peuvent être légèrement courbés par une force d'origine extérieure). Dans ces conditions on peut faire sur le terme B(f₁₂) de l'équation (43) des approximations qui conduisent à l'écrire sous la forme :

Sous cette forme, l'équation (41) est appelée équation de Boltzmann. L'intégrale (44) y définit l'effet des collisions ; c'est une intégrale quintuple où les variables d'intégration sont les paramètres définissant la collision (w₂ vitesse de la molécule cible avant le choc, χ et ϕ : angles définis sur la figure) ; f₁ et f₂ désignent les valeurs de la fonction de distribution pour les vitesses w₁ et w₂ avant le choc ; f₁′ et f₂′ signifient ces mêmes grandeurs, mais pour les valeurs w₁′ et w₂′ des vitesses après le choc.

Le terme w₁(∂f₁/∂r₁) qui apparaît dans (41) représente la contribution des effets de diffusion thermique à la variation de f₁ ; ce terme n'existe que dans un gaz non homogène. Si l'on se reporte par exemple à la figure,[...]