MARTINGALES THÉORIE DES

Filtration

À chaque processus stochastique (X_t), t ∈ I, sont liées de façon naturelle les tribus F_t^X, engendrées par les variables X_s pour s ≤ t, qui représentent toute l'information fournie par le processus jusqu'à l'instant t ; une telle famille (F_t^X), t ∈ I, est une filtration.

De façon plus précise, une filtration indexée par I est une famille (F_t), t ∈ I, de sous-tribus de F, c'est-à-dire F_t⊂ F, possédant la propriété de croissance suivante :

Un processus stochastique (X_t), t ∈ I, est dit adapté à une filtration (F_t), t ∈ I, si, pour tout t ∈ I, la variable aléatoire X_t est F_t-mesurable ; tout processus stochastique (X_t), t ∈ I, est évidemment adapté à sa filtration naturelle (F_t^X), t ∈ I.

Si (X_t) est adapté à (F_t), la filtration considérée est plus fine que la filtration naturelle associée à (X_t). Pratiquement, dans de nombreux cas, cela correspond à la situation suivante : on observe un phénomène aléatoire dépendant du temps ; alors (F_t) correspond à l'information contenue dans « tout le phénomène » jusqu'à l'instant t (en d'autres termes, c'est la filtration associée à un « gros » processus représentant le phénomène), alors que F_t^X ne correspond qu'à des observations partielles de ce phénomène.

Définitions

Soit (X_t), t ∈ I, un processus stochastique adapté à une filtration (F_t), t ∈ I, et tel que, pour tout t ∈ I, X_t soit intégrable, c'est-à-dire E(|X_t|) < ∞.

On dit que (X_t, F_t) est une martingale si, quels que soient s, t ∈ I, avec s ≤ t, on a :

Si l'égalité ci-dessus est remplacée par :

Ainsi une martingale représente-t-elle un jeu « équitable » : si X_t désigne le gain cumulé par le joueur au temps t, l'égalité E(X_t|F_s) = X_s, pour tout t ≥ s, signifie que, connaissant F_s (c'est-à-dire sans savoir plus que ce qui s'est passé jusqu'au temps s), on n'a pas plus de chances d'augmenter que de diminuer ses gains dans l'avenir.

En d'autres termes, en personnifiant un peu ce processus, on peut dire qu'il choisit tout simplement comme estimé de son avenir (au vu de son histoire) son état à l'instant présent : il n'est ni ambitieux, ni dépressif (une sur-martingale est dépressive, une sous-martingale ambitieuse).

Exemples

Commençons par des exemples issus du jeu de pile ou face avec une pièce non truquée : un joueur joue pile (« contre la banque ») selon les règles habituelles.

Notons X₀ = 0 et Y_k le gain (ou la perte) obtenu au k-ième coup ; alors :

Exemple 1 : stratégie « bête », du moins apparemment. À chaque coup, le joueur mise 1 euro sur pile, indépendamment de ce qui s'est passé avant : en termes mathématiques, les Y_k sont des variables aléatoires indépendantes et Y_k = ± 1 avec même probabilité 1/2. On vérifie immédiatement que :

Plus généralement, dès que (Y_k) est une suite de variables aléatoires indépendantes et centrées et que X_n = Y₁ + ... + Y_n, alors (X_n,F_n^X) est[...]