MARTINGALES THÉORIE DES

Théorème d'arrêt

L'idée essentielle contenue dans ce paragraphe est la suivante. Pour un jeu équitable, dans un intervalle de temps borné, il n'existe pas de « stratégie » (c'est-à-dire de façon de miser et de quitter le jeu en tenant compte uniquement des coups passés) qui permette de gagner. Ainsi la stratégie « bête » de l'exemple 1 n'est-elle pas plus bête qu'une autre.

En termes mathématiques, cela se traduit de la manière suivante : le caractère de martingale d'un processus n'est pas affecté par un temps d'arrêt. Plus précisément :

– on dit qu'une variable aléatoire T à valeurs dans N est un temps d'arrêt par rapport à une filtration (F_n) si, pour tout entier n, {T = n}, est F_n-mesurable : autrement dit, en termes de jeux, l'instant T où on décide de quitter le jeu ne dépend pas des informations connues à ce moment-là.

– Si T est un temps d'arrêt relativement à (F_n), on définit la tribu F_T (dite tribu associée à l'instant aléatoire T) par l'ensemble des événements A tels que A ∩ {T = n} soit F_n-mesurable.

Moralement, c'est la tribu des événements antérieurs à T : si T(ω) = n₀ fixé, on retrouve bien Fn₀.

Théorème. Si S et T sont deux temps d'arrêt bornés vérifiant S ≤ T, alors

Il en résulte, en prenant l'espérance des deux membres, que E(X_T) = E(X₀) pour tout temps d'arrêt T borné. Réciproquement, on peut montrer que, si un processus vérifie cette propriété, c'est une martingale. En termes de jeux, si X_n représente le gain cumulé en n coups dans un jeu équitable (avec X₀ = 0), l'égalité E(X_T) = E(X₀) signifie bien que l'espérance du gain reste nulle quelle que soit la stratégie adoptée.

Si le temps d'arrêt T n'est pas borné, l'égalité E(X_T) = E(X₀) ne subsiste pas nécessairement, comme le montre l'exemple 2 ; en effet, dans cet exemple, appelons T le premier instant où la pièce tombe sur pile, T est un temps d'arrêt et X_T = 1 presque sûrement, alors que E(X₀) = 0.

En fait, dans la pratique, une telle stratégie n'est pas si facile à adopter car le joueur ne peut avoir un capital suffisant pour supporter des pertes arbitrairement grandes. Ainsi donc la stratégie « futée » n'est-elle futée que pour les riches.

Faisons toutefois, sans insister, la remarque suivante : si S et T sont des temps d'arrêt non bornés et si la famille (X_n) est uniformément intégrable, c'est-à-dire si :

Avec des modifications évidentes, des théorèmes du même type peuvent être énoncés pour les sur-martingales et pour les sous-martingales. Ces résultats assez simples ont une signification relativement concrète, mais ils servent aussi d'outils pour l'étude générale des martingales.

Théorème de convergence

Les résultats que nous allons présenter ici constituent une partie importante (élaborée, pour l'essentiel, après la Seconde Guerre mondiale par J. L. Doob) de la théorie des martingales.

Commençons par une remarque simple : soit F_n une suite croissante de tribus. Si (X_n, F_n) est une martingale, la suite Y_n =X_n − X_n−1 vérifie E(Y_n|F_n−1) = 0 ; réciproquement, si Y_n est une suite adaptée à F_n telle que E(Y_n|F_n−1) = 0, alors X_n = Y₁ + ... + Y_n est une martingale relativement à F_n.

On dit, dans ce cas, que la suite (Y_n, F_n) est une suite d'accroissements de martingales. Si les Y_n sont de carré intégrable, il est alors clair que[...]